[論文レビュー] Cherkis bow varieties and Coulomb branches of quiver gauge theories of affine type $A$

Hiraku Nakajima, Yuuya Takayama|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、アフィン型Aのフレームドクオーバーゲージ理論のクーロン枝が、巡回群作用を伴うタウブ＝ヌルト空間上のADHM型構成から生じるハイパーケーラー構造をもつ代数的多様体であるチェルキス・ボーバーティーと同型であることを確立している。クオーバー記述と因子分解性質を用いて、クーロン枝が基底空間上でのボーバーティーと双有理同型であることを証明し、正規性基準を用いてこの同型をグローバルに拡張することで、数学的物理学における予想を確認し、クオーバー多様体のみに限らないより広範な枠組みを提供する。

ABSTRACT

We show that Coulomb branches of quiver gauge theories of affine type $A$ are Cherkis bow varieties, which have been introduced as ADHM type description of moduli space of instantons on the Taub-NUT space equivariant under a cyclic group action.

研究の動機と目的

• アフィン型Aのチェルキス・ボーバーティーの代数的幾何的研究を開始する。これはクオーバー多様体を一般化し、Z/ℓZ対称性をもつタウブ＝ヌルト空間上のインスタントンモジュライスケールから生じる。
• フレームドクオーバーゲージ理論のアフィン型Aのクーロン枝がボーバーティーと同型であることを証明し、物理的予想を確認するとともに、支配的重み条件の制限を超えてその適用範囲を拡張する。
• ボーバーティーのクオーバーに基づく記述を提供し、正規性や層化といった代数的幾何的解析（表現論的応用に不可欠）を可能にする。

提案手法

• 行列に基づく代数的定式化により、ボーバーティーのクオーバー記述を導入し、元々のADHM型微分方程式（ナーム方程式）を代数的方程式に置き換える。
• ボーバーティーMに対して因子分解準同型Ψ: M → Avを定義し、クーロン枝の因子分解写像に類似した性質を持つことを示し、同じ因子分解性質を満たすことを証明する。
• Av上でのMC ≈99K Mへの双有理同型写像Ξ◦を構成し、[BFN16a, Th. 5.26]の基準を用いて、余次元2までで正則であることを示す。
• ボーバーティーMが正規であり、Ψのすべての纤维が定数次元をもつことを証明する。これは双有理写像をグローバル同型に拡張するための本質的条件である。
• 三角形クオーバー部および二重方向クオーバー部における冪零軌道の逆像に対する組合せ論的境界を用いて、Ψの纤维の次元を推定し、[KP79]および[Bie97]の結果に依拠する。
• 直交スライス（一般化されたスロドウイ・スライス）を用いた逐次同型写像を適用し、ナーム方程式の解のモジュライ空間がGL(r) × Sに同型であることを特定する。ここでSは所定のサイズのブロック行列の空間である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フレームドクオーバーゲージ理論のアフィン型Aのクーロン枝は、チェルキス・ボーバーティーと同型であるか？
• RQ2 ボーバーティーのクオーバー記述を用いて、その正規性および層化性質を確立できるか？
• RQ3 クーロン枝の因子分解構造はボーバーティーへも拡張可能か？ そして、それを用いてグローバル同型を証明できるか？
• RQ4 特に支配的重みでない場合において、ボーバーティーはクオーバー多様体よりもクーロン枝を研究するにあたりより自然な枠組みを提供するか？
• RQ5 極がn点にあり、留数がμ₁,…,μₙであるナーム方程式の解のモジュライ空間は、一般線形群と直交スライスの積に同型であるか？

主な発見

• フレームドクオーバーゲージ理論のアフィン型Aのクーロン枝MCは、チェルキス・ボーバーティーMと同型である。これは物理的予想を確認し、支配的重み条件の制限を超えて適用範囲を拡張する。
• ボーバーティーのクオーバー記述により、正規性の証明が多くの場合で可能となり、元のADHM／ナーム方程式形式では明確でない。
• ボーバーティー上の因子分解写像Ψの纤维は定数次元をもち、クーロン枝と同様の因子分解性質を満たす。これにより、[BFN16a, Th. 5.26]の基準が適用可能になる。
• Avの点におけるΨの纤维の次元は、∑i(wi + 1)v²i + viで抑えられ、クーロン枝の纤维の期待される次元と一致する。
• 極がn点にあり、留数がμ₁,…,μₙであるナーム方程式の解のモジュライ空間は、サイズμ₁, μ₂, ..., μₙのブロック行列の空間Sを用いてGL(r) × Sに同型である。
• 本論文では、一般化されたスロドウイ・スライスSが標準的スロドウイ・スライスS(μ)と同型であることが示され、GL(r) × S(μ) ≅ GL(r) × Sが成り立つ。これは文献における不一致を解消する。