[論文レビュー] Chern Character for Global Matrix Factorizations

David J. Platt|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、滑らかなスキーム $X$ とその上のスーパーポテンシャル $w$ に対して、HochschildホモロジーのCechモデルを用いて、グローバル行列因子化の導来圏におけるチャーン類の明示的公式を提供する。主な結果は、局所接続と曲率的表現を含む、曲率に類似した表現のスーパートレースとしてチャーン類を表すものであり、古典的なチャーン類の公式を行列因子化の文脈に一般化する。

ABSTRACT

We give a formula for the Chern character on the DG-category of global matrix factorizations on a smooth scheme $X$ with superpotential $w\in Γ(\mathcal{O}_X)$. Our formula takes values in a Cech model for Hochschild homology. Our methods may also be adapted to get an explicit formula for the Chern character for perfect complexes of sheaves on $X$ taking values in right derived global sections of the De-Rham algebra. Along the way we prove that the DG version of the Chern character coincides with the classical one for perfect complexes.

研究の動機と目的

• 滑らかなスキームにスーパーポテンシャルを備えたグローバル行列因子化のチャーン類を計算すること。
• HochschildホモロジーのCechモデルにおけるチャーン類の明示的公式を提供すること。
• 層の導来圏における境界-バケーションマップとチャーン類の関係を確立すること。
• 局所接続を用いて、古典的なチャーン類の公式を行列因子化の文脈に拡張すること。
• DGカテゴリのチャーン類が、完全複体に対して古典的なものと一致することを検証すること。

提案手法

• 論文は、グローバル行列因子化のDGカテゴリのHochschildホモロジーのCechモデルを構成する。
• スキーム $X$ のCech被覆上で接続の選択を用い、曲率的項 $[\nabla_i, e]$ を定義する。ここで $e$ は曲率付き微分作用素である。
• 境界-バケーションマップは、接続の差と曲率項の累乗を含む多重線形表現によって計算される。
• Cechコホモロジー、Hochschildホモロジーの計算、De Rham複体の導来全体切断を組み合わせることで公式が導出される。
• チャーン類は、恒等写像に評価された境界-バケーションマップにスーパートレースを適用することで得られる。
• 導来ファンクター理論的性質を用いて、完全複体に対して古典的チャーン類と一致することを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかなスキーム上のグローバル行列因子化の文脈で、チャーン類をどのように明示的に計算できるか。
• RQ2 層の導来圏における境界-バケーションマップとチャーン類の関係は何か。
• RQ3 HochschildホモロジーのCechモデルを用いて、接続などの局所的データを用いてチャーン類を表現できるか。
• RQ4 行列因子化のDGカテゴリのチャーン類は、完全複体に対する古典的チャーン類とどのように関係するか。
• RQ5 この文脈で、局所接続はどのようにしてチャーン類の明示的公式の構成に寄与するか。

主な発見

• グローバル行列因子化 $\mathcal{E}$ のチャーン類は、$\mathbb{R}\Gamma(\Omega_{dw})$ のCechモデルにおいて、$$ ch(\mathcal{E}) = \mathrm{str}\left(\sum_{p} \sum_{i_0\dots i_p} \sum_{k_j} (-1)^{p + \sum jk_j} \frac{[\nabla_{i_0},e]^{k_0} \cdots [\nabla_{i_p},e]^{k_p}}{(k_0 + \cdots + k_p + p)!} \right) $$ で与えられる。
• この公式は、行列因子化の各次数成分にグローバルな接続が存在する場合に有効であり、曲率項 $[\nabla_i, e]$ の使用を可能にする。
• チャーン類を計算する境界-バケーションマップは、HochschildホモロジーのCechモデルの値を取り、局所接続の差と曲率項の累乗を用いて構成される。
• 完全複体に対するDGバージョンのチャーン類は、ファンクター理論的性質と導来圏の技法により、古典的ものと一致することが示された。
• この構成により、境界-バケーションマップが層の導来圏に持ち上げられ、チャーン類が層複体の全体切断として幾何的解釈が可能になる。
• この公式は、DGカテゴリカルな枠組みにおけるリーマン・ロッホ定理と整合的であり、Hochschildホモロジー上のペアリングが与えられた定義のもとで自明的である。