[論文レビュー] Chern classes of proalgebraic varieties and motivic measures

Shoji Yokura|ArXiv.org|Jul 14, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 34被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、χ安定なプロコンストラクティブル関数を用いて、プロ代数的多様体に対するChern–Schwartz–MacPherson類を定義し、モチーフ的測度および積分を無限次元設定に拡張する。プロ代数的多様体上のモチーフ的積分のための枠組みを確立し、特にナッシュの弧空間を含む。また、特異点の解消の射影的極限としてのプロ解体を定義する。

ABSTRACT

Michael Gromov has recently initiated what he calls ``symbolic algebraic geometry", in which objects are proalgebraic varieties: a proalgebraic variety is by definition the projective limit of a projective system of algebraic varieties. In this paper we construct Chern--Schwartz--MacPherson classes of proalgebraic varieties, by introducing the notion of ``proconstructible functions " and "$χ$-stable proconstructible functions" and using the Fulton-MacPherson's Bivariant Theory. As a "motivic" version of a $χ$-stable proconstructible function, $\Ga$-stable constructible functions are introduced. This construction naturally generalizes the so-called motivic measure and motivic integration. For the Nash arc space $\Cal L(X)$ of an algebraic variety $X$, the proconstructible set is equivalent to the so-called cylinder set or constructible set in the arc space.

研究の動機と目的

• プロ代数的多様体（代数的多様体の射影的極限）に対するChern–Schwartz–MacPherson類を定義すること。
• プロコンストラクティブル関数を用いて、モチーフ的測度およびモチーフ的積分を無限次元設定に一般化すること。
• モチーフ的積分の基礎をなす、χ安定およびΓ安定プロコンストラクティブル関数の概念を導入すること。
• 特異多様体のすべての特異点解消の射影的極限としてのプロ解体を定義すること。
• ナッシュの弧空間と特異多様体のプロ解体との関係を調査すること。

提案手法

• 逆極限におけるコンストラクティブル集合のファイバーを持つ関数として、プロコンストラクティブル関数を定義する。
• 極限においてオイラー特徴標数が正しく定義される関数として、χ安定プロコンストラクティブル関数を定義する。
• Fulton–MacPhersonの双変理論を用いて、プロ代数的多様体に対するChern–Schwartz–MacPherson類を構成する。
• Grothendieck環 $K_0(\Cal{V}_{\bbC})$ を積分の値域とする、Γ安定プロコンストラクティブル関数を用いたモチーフ的積分を導入する。
• 特異多様体のすべての特異点解消の射影的極限として、プロ解体 $\widetilde{X}^{\operatorname{pro}}$ を構成し、有向集合でインデックスを付ける。
• 準同型の可換図式を用いて、ナッシュの弧空間とプロ解体との間の標準的写像を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、プロ代数的多様体に対するChern–Schwartz–MacPherson類を定義できるか？
• RQ2 χ安定プロコンストラクティブル関数は、無限次元多様体上のモチーフ的測度を定義する上で果たす役割は何か？
• RQ3 特異多様体のプロ解体からそのナッシュの弧空間への標準的準同型写像は存在するか？
• RQ4 Γ安定関数を用いることで、モチーフ的積分はどのようにプロ代数的多様体へ拡張されるか？
• RQ5 プロ解体は、プロ代数的多様体の圏における普遍的解体と見なせるか？

主な発見

• χ安定プロコンストラクティブル関数を用いることで、プロ代数的多様体のChern–Schwartz–MacPherson類は適切に定義され、古典理論が一般化される。
• 例えば $X^{bN}$ のようなプロ代数的多様体のオイラー＝ポワンカレ特徴標数は $\chi(X)$ に等しく、古典的定義が無限積へ拡張される。
• Grothendieck環 $K_0(\Cal{V}_{\bbC})$ に値をとるΓ安定プロコンストラクティブル関数を用いて、プロ代数的多様体上のモチーフ的積分が定義される。
• プロ解体 $\widetilde{X}^{\operatorname{pro}}$ は、$X$ のすべての特異点解消の射影的極限として構成され、有向系を形成する。
• ナッシュの弧空間 $\Cal{L}(X)$ は、特異部分集合に整合する、プロ解体 $\widetilde{X}^{\operatorname{pro}}$ への標準的準同型写像を備える。
• この構成は、モチーフ的測度を一般化し、記号的代数幾何学における特徴的類を研究するための枠組みを提供する。