[論文レビュー] Chern-Simons Gauge Theory As A String Theory

Edward Witten|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 1992

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 24被引用数 93

ひとこと要約

この論文は、3次元のチェーン＝サイモンズゲージ理論が、$T^*M$ を標的空間とするトポロジカルシグマ模型を通じて、ストリング理論として実現可能であると提唱している。世界面理論におけるインスタントンの寄与が、時空におけるチェーン＝サイモンズ作用素にウィルソン線積分を生成する。主な結果として、このストリングモデルの摂動的展開が、チェーン＝サイモンズ摂動理論を再現することを示しており、理論の背景依存性のない、ゲージ不変な時空的解釈を確立している。

ABSTRACT

Certain two dimensional topological field theories can be interpreted as string theory backgrounds in which the usual decoupling of ghosts and matter does not hold. Like ordinary string models, these can sometimes be given space-time interpretations. For instance, three-dimensional Chern-Simons gauge theory can arise as a string theory. The world-sheet model in this case involves a topological sigma model. Instanton contributions to the sigma model give rise to Wilson line insertions in the space-time Chern-Simons theory. A certain holomorphic analog of Chern-Simons theory can also arise as a string theory.

研究の動機と目的

• 通常のトポロジカルストリングモデルにおけるゴーストと物質の分離が破綻するにもかかわらず、3次元のチェーン＝サイモンズゲージ理論がストリング理論として解釈可能かどうかを検討すること。
• $T^*M$ 上のトポロジカルシグマ模型を用いた世界面理論を構築し、チェーン＝サイモンズ理論の摂動的構造を再現すること。
• このモデルのオープンストリング版の時空的解釈を特定し、摂動論的にチェーン＝サイモンズ理論と同等であることを示すこと。
• 閉じたストリングの役割を調査し、特に開いたストリングの振幅に影響を与えないまま異常をキャンセルする可能性を検討すること。
• トポロジカルストリング理論、チェーン＝サイモンズ理論、およびコンツェビッチが研究した数学的不変量との関係を明確にすること。

提案手法

• 3次元多様体 $M$ を標的空間とするトポロジカルシグマ模型を構築し、これを世界面理論として用いる。
• $M$ に境界を持つ有限作用能のインスタントンは存在しないが、無限遠で仮想インスタントンが経路積分に寄与することを用いる。
• 無限遠におけるこれらの仮想インスタントンの数え上げが、アクセルロッドとシンガーによって定式化されたチェーン＝サイモンズ理論の摂動的展開を再現することを示す。
• オープンストリング場理論を適用して時空の有効作用を導出し、それがウィルソン線積分を含むチェーン＝サイモンズ理論として特定されることを示す。
• 閉じたストリングのセクターを解析する際、閉じたストリングを有限長のオープンストリング伝播子に接続し、モジュライパラメータを長さと接続点に対応させる。
• 閉じたストリング伝播子が物理状態を消滅させること（$b_0$ 演算子が調和形式に作用するため）を示し、結果として閉じたストリングがオープンストリング振幅から分離されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元のチェーン＝サイモンズゲージ理論が、物質とゴーストの分離を仮定せずにストリング理論として実現可能か？
• RQ2 $T^*M$ 上のトポロジカルシグマ模型におけるインスタントン寄与が、時空のチェーン＝サイモンズ作用素にどのようにウィルソン線積分を生成するか？
• RQ3 このトポロジカルストリングモデルのオープンストリング版の時空的解釈は何か？
• RQ4 閉じたストリングは、異常と有限性の観点から、このモデルでどのような役割を果たすか？
• RQ5 この構成は、コンツェビッチによるチェーン＝サイモンズ理論とトポロジカル不変量に関する観察とどのように関係するか？

主な発見

• $T^*M$ 上のトポロジカルシグマ模型の摂動的展開は、アクセルロッドとシンガーによって定義されたチェーン＝サイモンズ摂動理論を再現する。
• 時空のチェーン＝サイモンズ理論におけるウィルソン線積分は、世界面シグマ模型における無限遠での仮想インスタントンに由来する。
• このモデルのオープンストリング場理論により得られる時空作用は、摂動論的に3次元のチェーン＝サイモンズゲージ理論と同等である。
• 閉じたストリングは、$b_0$ 演算子が物理状態を消滅させるため、オープンストリング振幅から分離され、有限性が保たれる。
• このモデルは、背景依存性のない、ゲージ不変な時空的解釈を完全に決定する最初の例である。
• この構成により、トポロジカルストリング理論と仮想インスタントンの観点から、コンツェビッチのチェーン＝サイモンズ理論に関する観察が説明される。