[論文レビュー] Chiral and Geometric Anomalies in Finite Systems

Djordje Radicevic|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2018

Topological Materials and Phenomena参考文献 17被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、空間的体積に関連する位相的障害によって、有限なフェルミオン系においてキラル異常および幾何的異常が生じることを示している。U(1)局所対称性は、$\mathbb{Z}_{N+1}$ に制限されない限り、有限格子上では一貫してゲージ化できない。$\mathbb{Z}_{2}$ フェルミオンパリティ対称性はキラル異常を最小限の実現として果たす。主な結果は、量子異常とは異なり、格子サイズに基づく幾何的異常診断である。

ABSTRACT

Dirac fermions coupled to gauge fields can exhibit the chiral anomaly even on a finite spatial lattice. A careful description of this phenomenon yields new insights into the nature of spin-charge relations and on-site symmetries (symmetries that are gauged by placing gauge fields on all links of the lattice). One notable result is that only sufficiently small symmetry groups can act on-site in a system with finitely many degrees of freedom. Symmetries that break this rule either cannot be gauged on an arbitrary lattice, or the gauging decouples the matter fields from gauge fields. These "anomalies" are not quantum in nature, and they are diagnosed geometrically, by the volume of the spatial manifold. The familiar particle number ${\mathrm U}(1)$ exhibits this kind of anomalous behavior in any finite fermion theory. The chiral anomaly in such a finite system instead manifests itself most simply after gauging the ${\mathbb Z}_2$ fermion parity.

研究の動機と目的

• 有限で非摂動的な格子系におけるキラル異常および幾何的異常の性質を明確化すること。
• 有限なフェルミオン系において、U(1)局所対称性を一貫してゲージ化できない幾何的制約を同定すること。
• 格子上 $N$ 個のサイトを持つ系において、$\mathbb{Z}_{N+1}$ の局所対称性のみが幾何的（準）異常を回避することを示すこと。
• $\mathbb{Z}_{2}$ ゲージ場とスピン構造との間の関係を確立し、2次元における重力異常と結びつけること。
• 幾何的診断による異常を用いて、有限系におけるスピン-電荷関係を再定式化すること。

提案手法

• スピンなし複素フェルミオンの有限格子モデルを、ダイマー化されたディラックフェルミオンを用いて分析する。
• 連続極限や有効場理論を用いない、非摂動的かつ正確な格子形式を適用する。
• 特に単粒子制約 $\sum_v q(n_v) = 0$ を通じて、ゲージ制約のグローバル整合性を用いて異常を診断する。
• 電荷密度の連続極限 $\rho(v) = \frac{1}{a}q(n_v)$ を用い、$V/a$ を位相的不変量として解釈することで、幾何的障害を形式化する。
• フェルミオンパリティ（$\mathbb{Z}_2$）のゲージ化により、U(1)ゲージ場を用いないキラル異常の実現を示す。
• $\mathbb{Z}_2$ ゲージ場を格子上のスピン構造として解釈し、異常を2次元における重力異常と結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限大や連続極限に依存せずに、明示的に有限なフェルミオン系においてキラル異常を一貫して定義できるか？
• RQ2 有限格子上でのU(1)局所対称性のゲージ化を妨げる幾何的制約は何か？
• RQ3 なぜU(1)粒子数対称性は有限系では一貫してゲージ化できないのか？格子サイズの役割は何か？
• RQ4 $\mathbb{Z}_2$ フェルミオンパリティ異常は、有限系におけるキラル異常の最小実現としてどのように機能するか？
• RQ5 $\mathbb{Z}_2$ ゲージ場、スピン構造、および格子場理論における重力異常との関係は何か？

主な発見

• $N$ 個のサイトを持つ有限格子上では、最大の非異常な局所U(1)対称性群は $\mathbb{Z}_{N+1}$ であり、これは最大に非局所的である。
• 有限格子上での局所的U(1)対称性は、すべて幾何的（準）異常である。これは、物質をゲージ場から分離させたり、グローバル整合性条件を破壊したりすることを意味する。
• 単粒子制約 $\sum_v q(n_v) = 0$ は連続極限で $\int_0^V dv\, \rho(v) = 0$ に変わり、$q(n_v) = 2n_v - 1$ のとき $V/a$ が偶数整数でなければ整合性がない。
• 半分満たし状態（$N^F = N/2$）では、制約 $\int \psi^\dagger \psi \, dv = \frac{1}{2} \frac{V}{a}$ が $V/a$ が偶数整数でなければならないことを要求し、これにより幾何的異常が診断される。
• $\mathbb{Z}_2$ キラル異常（フェルミオンパリティのゲージ化により実現）は、アドラー＝ベル＝ジャッキー異常の格子版であり、同時に2次元における重力異常をも記述する。
• 2つの複素フェルミオンにおける非アーベル的対称性U(2)は、そのU(1)成分のおかげで幾何的に異常であるが、SU(2)は許容可能であり、これはU(1)成分が粗視化の過程でのみ出現することを示唆する。