[論文レビュー] Circular quiver gauge theories, isomonodromic deformations and $W_N$ fermions on the torus

Giulio Bonelli, Fabrizio Del Monte+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 100被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、トーラス上の自己双対 $\Omega$-背景における円形クiver $N=2$ $d=4$ $SU(N)$ ゲージ理論と、穴あきトーラス上の平坦な $SL(N)$ 接続の等モノドロミー変形の間の対応を確立する。変形問題をトーラス上の $W_N$ フェルミオン相関関数に写像することにより、著者らは等モノドロミー系の $\tau$-関数がゲージ理論の分配関数に比例することを示し、比例定数は非自明な「脱自己同型化された」Seiberg-Witten可積分系の解に依存する。

ABSTRACT

We study the relation between class S theories on punctured tori and isomonodromic deformations of flat SL(N) connections on the two dimensional torus with punctures. Turning on the self dual $\\Omega$-background corresponds to a deautonomization of the Seiberg-Witten integrable system which implies a specific time dependence in its Hamiltonians. We show that the corresponding $\ au$-function is proportional to the dual gauge theory partition function, the proportionality factor being a non trivial function of the solution of the deautonomized Seiberg-Witten integrable system. This is obtained by mapping the isomonodromic deformation problem to $W_N$ free fermion correlators on the torus.

研究の動機と目的

• 穴あきトーラス上のクラス $\mathcal{S}$ 理論と、平坦な $SL(N)$ 接続の等モノドロミー変形との間の明確な対応を確立すること。
• 既知の $\mathcal{N}=2^*$ ゲージ理論とペアルヴィーVIの関係を、より高ランクの $SU(N)$ 円形クイバー理論へ一般化すること。
• 等モノドロミー系の $\tau$-関数が、脱自己同型化された可積分系に依存する非自明な因子を除いて、ゲージ理論の分配関数に等しいことを示すこと。
• 自由フェルミオン相関関数と退化場演算子を用いて、トーラス上での $W_N$ 代数的構造を実現すること。
• $N=2$ の場合を越えて、$W_N$ フェルミオンがゲージ理論の分配関数と等モノドロミー変形問題の解を結ぶ役割を系統立てて拡張すること。

提案手法

• 頂点演算子代数の技法を用いて、穴あきトーラス上の等モノドロミー変形問題を $W_N$ フェルミオン相関関数に写像すること。
• ヒチン系とセイバーグ＝ウィッテン幾何学を用いて、ゲージ理論のクーロン枝をトーラスにファイバーするハイパーケーラー多様体として記述すること。
• 時間変数を「遅い」および「速い」変数に分割することで、Seiberg-Witten可積分系を脱自己同型化し、ウィットハム型の力学を導出すること。
• $W_N$ 生成子と $U(1)$ ボソンから $N$ 成分の自由フェルミオンを構成し、フェルミオン統計を保証する特定のOPEを満たすこと。
• 完全に退化した場 $\phi_{s,\theta}$ と $\bar{\phi}_{s,\theta}$ 及び射影子を用いて、融合チャネルを制限し、フェルミオン場を定義すること。
• これらのフェルミオン演算子の相関関数として、等モノドロミー系の $\tau$-関数を導出し、ゲージ理論の分配関数に解に依存する因子を除いて一致させること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 穴あきトーラス上の等モノドロミー変形問題の $\tau$-関数は、自己双対 $\Omega$-背景における円形クイバー $\mathcal{N}=2$ $SU(N)$ ゲージ理論の分配関数とどのように関係するか？
• RQ2 トーラス上での $W_N$ フェルミオン相関関数が、ゲージ理論の分配関数を実現する際の明確な役割は何か？
• RQ3 Seiberg-Witten可積分系の脱自己同型化は、$\tau$-関数およびそれとゲージ理論との関係にどのように現れるか？
• RQ4 トーラス上の $W_N$ 代数的構造を用いて、より高ランクのゲージ群に対する等モノドロミー変形問題の解を体系的に構成できるか？
• RQ5 $W_N$ の場合における $\tau$-関数と分配関数の間の比例因子の関数的形は何か？

主な発見

• 等モノドロミー変形問題の $\tau$-関数は、脱自己同型化された Seiberg-Witten 可積分系の解に依存する比例定数を除いて、ゲージ理論の分配関数に比例する。
• この対応は、$N=2$ の場合を高ランク $SU(N)$ ゲージ理論へ一般化する $W_N$ フェルミオン相関関数への写像によって実現される。
• 完全に退化した場 $\phi_{s,\theta}$ と $\bar{\phi}_{s,\theta}$ 及び射影子を用いて、正準的OPEを満たす $N$ 成分フェルミオンを定義する。
• トーラス上での $W_N$ フェルミオン実現により、$\tau$-関数がこれらのフェルミオン場の相関関数として表現され、解に依存する非自明な因子を除いてゲージ理論の分配関数と一致する。
• この手法により、ペアルヴィー超越関数と $\mathcal{N}=2^*$ 理論の既知の関係が、$W_N$ 代数的構造を通じて一般の円形クイバー $SU(N)$ 理論へ拡張される。
• 比例因子は定数ではなく、脱自己同型化された可積分系のモジュライに依存し、クーロン枝の非自明な幾何を反映している。