[論文レビュー] Class of smooth functions in Dirichlet spaces

Partrick J. Fitzsimmons, Liping Li|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$C_c^\infty(E)$ が $E \subset \mathbb{R}^d$ 上の正則ディリクレ形式 $({\mathcal{E}}, {\mathcal{F}})$ の特別な標準的核であるための条件を調査し、座標関数の福島分解を分析する。マーティングール部がブラウン運動であり、ゼロエネルギー部が有界変動でない場合、初期条件に依存しない非可算個の確率微分方程式の解が生じることを示している。

ABSTRACT

Given a regular Dirichlet form $(\mathcal{E},\mathcal{F})$ on a fixed domain $E$ of $\mathbb{R}^d$, we first indicate that the basic assumption $C_c^\infty(E)\subset \mathcal{F}$ is equivalent to the fact that each coordinate function $f^i(x)=x_i$ locally belongs to $\mathcal{F}$ for $1\leq i\leq d$. Our research starts from these two different viewpoints. On one hand, we shall explore when $C_c^\infty(E)$ is a special standard core of $\mathcal{F}$ and give some useful characterizations. On the other hand, we shall describe the Fukushima's decompositions of $(\mathcal{E},\mathcal{F})$ with respect to the coordinates functions, especially discuss when their martingale part is a standard Brownian motion and what we can say about their zero energy part. Finally, when we put these two kinds of discussions together, an interesting class of stochastic differential equations are raised. They have uncountable solutions that do not depend on the initial condition.

研究の動機と目的

• $E \subset \mathbb{R}^d$ 上の正則ディリクレ形式 $({\mathcal{E}}, {\mathcal{F}})$ に対して、$C_c^\infty(E)$ が特別な標準的核である条件を特定すること。
• マーティングール部が標準的ブラウン運動である場合に、座標関数 $f^i(x) = x_i$ に対する福島分解を分析すること。
• 分解のゼロエネルギー部の特性とその変動性を特定すること。
• 関連する拡散過程が半マルティンガールであることを満たさない条件を同定すること。
• コア条件と分解構造の相互作用から生じる確率微分方程式の出現と、その解の性質を調査すること。

提案手法

• $C_c^\infty(E) \subset {\mathcal{F}}$ と各座標関数 $x_i$ が局所的に ${\mathcal{F}}$ に属することの同値性を確立する。
• 正則ディリクレ形式およびその関連するマルコフ過程の理論を用いて福島分解 $f(X_t) - f(X_0) = M^{[f]}_t + N^{[f]}_t$ を分析する。
• エネルギーと正則性の特定の条件下で、マーティングール部 $M^{[f]}$ が標準的ブラウン運動であることを特徴づける。
• 滑らかな符号付き測度とその関連する加法的関数の観点からゼロエネルギー部 $N^{[f]}$ を分析する。
• $\mathbb{R}^d \setminus \{0\}$ 上の部分ディリクレ形式を用いて、特異点から離れた加法的関数の振る舞いを研究する。
• 容量推定と準連続性の議論を用いて、特定の加法的関数が有界変動でないことを示し、非半マルティンガール的行動を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で $C_c^\infty(E)$ が正則ディリクレ形式 $({\mathcal{E}}, {\mathcal{F}})$ の特別な標準的核となるか？
• RQ2 座標関数の福島分解におけるマーティングール部が標準的ブラウン運動であるのはいつか？
• RQ3 ディリクレ形式が正則的であり、$C_c^\infty(E) \subset {\mathcal{F}}$ であるとき、分解のゼロエネルギー部について何が言えるか？
• RQ4 分解のゼロエネルギー部が有界変動でないことはあり得るか？ そしてそれは関連する過程にどのような意味を持つのか？
• RQ5 コア条件と分解構造の相互作用から生じる確率微分方程式はどのようなものか？ その解の性質は何か？

主な発見

• $C_c^\infty(E) \subset {\mathcal{F}}$ である条件は、各座標関数 $x_i$ が局所的に ${\mathcal{F}}$ に属することと同値である。
• 福島分解における $f(x) = x_i$ のマーティングール部が標準的ブラウン運動であるとき、関連するディリクレ形式は特別な標準的核を有する。
• $\mathbb{R}^3$ 上の例（$\gamma > 0$）において、分解のゼロエネルギー部 $N^{[f]}$ は有界変動でないことが示され、過程が半マルティンガールでないことが示唆される。
• 原点の容量は正である：$\text{Cap}(\{0\}) = \frac{\gamma + \gamma c^2}{\gamma - c} > 0$ であり、$c = \gamma - \sqrt{\gamma^2 + 2}$ である。これにより原点は極的でないことが示される。
• $\mathbb{R}^3 \setminus \{0\}$ 上の $N^{[f^i]}$ に関連する滑らかな符号付き測度 $\nu_i$ は、$g(0) > 0$ を満たす準連続関数 $g$ に対する無限大の積分により、$\mathbb{R}^3$ 上の滑らかな測度に拡張できない。
• 容量 $\int g(x) \frac{\gamma|x|+1}{|x|} m(dx) < \infty$ を満たす準連続的かつ正の関数 $g$ の存在が、ゼロエネルギー部が有界変動でないことを示す矛盾を引き起こす。