[論文レビュー] Classical and Quantum Branes in c=1 String Theory and Quantum Hall Effect

Alexey Boyarsky, B. Kulik+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2003

Quantum and electron transport phenomena参考文献 35被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、c=1行列量子力学（MQM）を用いて、c=1弦理論におけるD1-braneとD0-braneの二重記述を提案する。古典的および量子的フェルミ粒子の固有値が、それぞれD1-braneおよびD0-braneに対応することを特定する。フェルミ海がブレーンの相互作用によって臨界定域に変形され、くぼみ（cusp）を形成することを示し、量子的D0-braneをボソン的 conformal field theory（CFT）の頂点演算子として構成する。この演算子の真空から境界状態への期待値は、正しいフェルミ粒子的波動関数をもたらし、D0-braneの解釈を確認する。

ABSTRACT

Interpretation of D1 and D0-branes in 1+1 string theory as classical and quantum eigen-values in dual c=1 Matrix Quantum Mechanics (MQM) was recently suggested. MQM is known to be equivalent to a system of N free fermions (eigen-values). By considering quantum mechanics of fermions in the presence of classical eigen-value we are able to calculate explicitly the perturbation of the shape of Fermi-sea due to the interaction with the brane. We see that the shape of the Fermi-sea depending on the position of the classical eigen-value can exhibit critical behavior, such as development of cusp. On quantum level we build explicitly the operator describing quantum eigen-value. This is a vertex operator in bosonic CFT. Its expectation value between vacuum and Dirichlet boundary state is equal to the correct wave-function of the fermion. This supports the conjecture that quantum eigen-value corresponds to D0-brane. We also show that c=1 MQM can be obtained as analytical continuation of the system of 2d electrons in magnetic field which is studied in Quantum Hall Effect.

研究の動機と目的

• c=1弦理論におけるD1-braneとD0-braneの双対性を、c=1行列量子力学（MQM）における古典的および量子的固有値と確立すること。
• MQMにおけるN個の自由フェルミ粒子のフェルミ海に、古典的固有値（D1-brane）が作用する相互作用を記述し、フェルミ海の形状変形を明らかにすること。
• ボソン的 conformal field theory（CFT）における第二量子化された頂点演算子を構成し、量子的固有値を生成し、それがD0-braneに対応することを特定すること。
• c=1 MQMが磁場中の2次元電子系の解析接続として得られることを示し、量子ホール効果と結びつけること。

提案手法

• ハミルトニアン H = ½ ∑(p_i² − x_i²) を持つ、上向きの調和振動子ポテンシャルにおけるN個の自由フェルミ粒子系としてMQMを定式化する。
• 外部場として古典的固有値 λ_{N+1}(t) = z(t) を導入し、ボレロンデターミナント Δ_{N+1} を介して分配関数を修正し、有効な相互作用ハミルトニアン H_int = [H_N, Φ(z(t))] を得る。
• 相互作用場 Φ(z(t)) = ∑_i log(λ_i − z) を定義し、古典的フェルミ粒子と量子的フェルミ粒子の間の交換相互作用を表現する。
• ボソン的 conformal field theory（CFT）における頂点演算子として、第二量子化された演算子 Ψ(z₀,t₀) = ψ(z₀,t₀) exp(iΦ(z₀,t₀)) を構成し、量子的D0-brane状態を生成する。
• z(w) = w + A/a + A/(w−a) による共形写像を用い、シュワーツ関数における極（フラックス）を1つ持つ曲線を記述し、臨界点におけるフェルミ海境界にくぼみをモデル化する。
• モーメント t_k = (1/2πik) ∮ z^{-k} ar{z} dz を計算し、共形写像を2次元Toda格子階層のτ関数に関連づけ、フラックス位置 ζ とくぼみ位置 z_cr が原点からの同じ方向に位置することを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 c=1 MQMにおける古典的および量子的固有値は、どのように弦理論におけるD1-braneおよびD0-braneとして解釈できるか？
• RQ2 ボソン的CFTにおける、量子的固有値を生成し、D0-braneに対応する頂点演算子の明示的形は何か？
• RQ3 古典的固有値（D1-brane）の存在がフェルミ海の形状に与える影響は何か？また、どのような条件下でくぼみが発生するか？
• RQ4 c=1 MQM系は、磁場中の2次元電子系に解析接続可能であり、量子ホール効果と結びつけられるか？
• RQ5 フェルミ海境界におけるフラックス位置（ζ）とくぼみ位置（z_cr）の幾何学的および代数的関係は何か？

主な発見

• フェルミ海の形状は、古典的固有値（D1-brane）の影響を受けて変形し、共形写像 z′(w) が |w|=1 で微分が0になる臨界点において、くぼみの形成が発生する。
• くぼみとフラックス（シュワーツ関数における極）は原点からの同じ方向に位置し、正の距離を保って分離しているため、安定な臨界定域配置が実現している。
• 頂点演算子 Ψ(z₀,t₀) = ψ(z₀,t₀) exp(iΦ(z₀,t₀)) は、量子的D0-brane状態を生成し、真空からディリクレ境界状態への期待値は、正しいフェルミ粒子的波動関数を再現する。
• フラックス強度 q は q = ar{A}/ar{a}^2 − |A|^2/(1−|a|^2)^2 で与えられ、ドロップレットの面積は t₀ = 1 − |A|^2/(1−|a|^2)^2 で与えられ、|a|<1 および |a±√A|<1 の条件下で両者とも実数である。
• くぼみの位置は z_cr = a(1 + A/a²) であり、フラックス位置は ζ = a(1/|a|² + A/(a²(1−|a|²))) で与えられ、両式とも実数であり、同じ径方向に配置されている。
• 上向き調和振動子ポテンシャルにおけるN個の自由フェルミ粒子系が、磁場中の2次元電子系の解析接続として得られ、量子ホール効果と直接的な関係を確立する。