[論文レビュー] Classical and Quantum Gravity on Conformal Superspace

Julian Barbour, Niall Ó Murchadha|ArXiv.org|Nov 19, 1999

Relativity and Gravitational Theory参考文献 1被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、共形超空間上に新しい重力理論を提唱する。配置空間は共形スケーリングおよび座標変換に関して制限された3次元幾何構造からなる。共形不変なジャコビ型作用を構築し、ベストマッチング手続きを用いることで、共形超空間内での測地線解が、最大スライシングにおけるアインシュタインの真空解と非常に良く一致し、負のエネルギーモードや時間の不在といった正準量子化における主要な問題を解決する。

ABSTRACT

The four-dimensional gauge group of general relativity corresponds to arbitrary coordinate transformations on a four-manifold. Theories of gravity with a dynamical structure remarkably like Einstein's theory can be obtained on the basis of a four-dimensional gauge group of arbitrary coordinate and conformal transformations of riemannian metrics defined on a three-manifold. This new symmetry is more restrictive and hence more predictive. Many of the difficulties that have plagued the canonical quantization of general relativity seem to vanish.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論を、共形超空間を配置空間として採用する、共形不変性が制限された理論に再定式化すること。
• 正定値スーパemetrikを構築することで、正準量子重力における長年の問題（負のエネルギーモードや時間の問題）を解決すること。
• この共形重力枠組みにおいて、解が最大スライシングで表現された場合に、正確に真空中のアインシュタイン解に一致することを示すこと。
• 標準的な正準量子化手順が、物理的でないモードを含まず、時間に依存しない正定値のホイーラー＝デイト方程式を導くこと。

提案手法

• 共形超空間（CS）を、共形スケーリングおよび微分同相変換に関して同一視された3次元幾何構造の空間として定義する。制限付き共形超空間（CS*）は全体の体積を保存する。
• 共形キリング形式と共形因子φを含む運動項Tを有するジャコビ型形式を用いて、スケーリングに対して不変な共形不変作用を構築する。
• 近接する計量間のベストマッチング手続きを実装し、微分同相変換および共形変換の両方について最小化を行う。共形因子φとスカラーθがスケーリングを制御する。
• 作用からハミルトニアンと制約を導出し、エネルギーノルム方程式が漸近的に平坦な時空において最大スライシング条件に還元されることを示す。
• 調整可能なパラメータAを有する修正されたスーパemetrikを用い、BSW作用を一般化するとともに、共形不変性を保持し、作用のスケール不変性を保証する。
• 共形理論に対して正準量子化を適用し、時間に依存せず正定値なホイーラー＝デイト方程式が得られ、微分同相変換および共形不変性を両方尊重する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共形超空間上に重力理論を構築可能であり、最大スライシングにおけるアインシュタインの真空中方程式を再現できるか？
• RQ2 共形不変作用は、負のエネルギーモードや時間の不在といった問題を伴わず、一貫した正準量子化を可能にするか？
• RQ3 共形スケーリングおよび体積保存の制限を組み込むことで、理論の力学および制約にどのような影響を与えるか？
• RQ4 共形因子φおよびスカラーθが、BSW手法を一般化するベストマッチング手続きを可能にする役割は何か？
• RQ5 標準的なアインシュタイン方程式が最大ゲージで表現された場合、提案された共形重力枠組みにおいて、共形超空間内の測地線として正確に再現可能か？

主な発見

• 共形因子φを1に設定すると、共形不変作用は最大スライシングにおける真空中のアインシュタイン解を再現し、このゲージにおいて一般相対性理論と正確に一致することが示された。
• エネルギーノルム方程式は、漸近的に平坦な時空において最大スライシング方程式 ∇²√(T/R) − √(T/R)R = 0 に還元され、標準的GRとの一貫性が確認された。
• 作用から導かれたハミルトニアンには3つの制約（微分同相変換、共形、トレース制約）が含まれており、体積分母を除いた場合、標準的GRハミルトニアンと構造的に同一である。
• 正準量子化により、時間に依存せず正定値なホイーラー＝デイト方程式が得られ、標準的手法における問題的な負のエネルギーモードが排除された。
• 運動項が共形不変でないため、理論は複雑なゲージ群を示すが、これは一貫性や物理的予測可能性を損なわない。
• 宇宙定数を追加するか、共形不変な物質場を導入するのは容易であり、作用はスカラー曲率項を変更するか、共形物質結合を導入することで一般化可能である。