[論文レビュー] Classical Dynamics from Self-Consistency Equations in Quantum Mechanics -- Extended Version

J. -B. Bru, W. de Siqueira Pedra|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2020

Advanced Operator Algebra Research参考文献 92被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、Bónaの非線形量子力学に対する $C_0$-semigroupに基づく新しい枠組みを提示する。自己整合性方程式を用いて、量子過程から古典的力学を導出する。$C^*$-代数上の自己随伴weak*連続汎関数の多項式関数に、ポアソン括弧を構成し、状態空間上の対称導出作用素が $C_0$-群の収縮を生成することを示す。これにより、古典的および量子的力学が統一的な数学的構造に埋め込まれる。

ABSTRACT

During the last three decades, P. Bóna has developed a non-linear generalization of quantum mechanics, based on symplectic structures for normal states and offering a general setting which is convenient to study the emergence of macroscopic classical dynamics from microscopic quantum processes. We propose here a new mathematical approach to Bona's one, with much brother domain of applicability. It highlights the central role of self-consistency. This leads to a mathematical framework in which the classical and quantum worlds are naturally entangled. We build a Poisson bracket for the polynomial functions on the hermitian weak$^{\ast }$ continuous functionals on any $C^{\ast }$-algebra. This is reminiscent of a well-known construction for finite-dimensional Lie algebras. We then restrict this Poisson bracket to states of this $C^{\ast }$-algebra, by taking quotients with respect to Poisson ideals. This leads to densely defined symmetric derivations on the commutative $C^{\ast }$-algebras of real-valued functions on the set of states. Up to a closure, these are proven to generate $C_{0}$-groups of contractions. As a matter of fact, in general commutative $C^{\ast }$-algebras, even the closableness of unbounded symmetric derivations is a non-trivial issue. Some new mathematical concepts are introduced, which are possibly interesting by themselves: the convex weak $^{\ast }$ Gâteaux derivative, state-dependent $C^{\ast }$-dynamical systems and the weak$^{\ast }$-Hausdorff hypertopology, a new hypertopology used to prove, among other things, that convex weak$^{\ast }$-compact sets generically have weak$^{\ast }$-dense extreme boundary in infinite dimension. Our recent results on macroscopic dynamical properties of lattice-fermion and quantum-spin systems with long-range, or mean-field, interactions corroborate the relevance of the general approach we present here.

研究の動機と目的

• Bónaの非線形量子力学の数学的厳密な枠組みを、元来の制限された設定を超えて構築すること。
• $\hbar \to 0$ の極限に依存せずに、量子過程から古典的力学がどのように生じるかを明確化すること。
• 同一の $C^*$-代数的構造内に古典的および量子的力学を統合する役割を果たす自己整合性の役割を確立すること。
• 可換 $C^*$-代数上の非有界対称導出作用素の閉包性という非自明な問題を、実数値関数の状態空間上の可換 $C^*$-代数で解決すること。
• 無限次元において、凸weak*コンパクト集合を解析するための新しい位相的道具（例：weak*–Hausdorff超位相）を導入すること。

提案手法

• $C_0$-semigroup理論を用いて、$C^*$-代数上の自己随伴weak*連続汎関数の空間上の多項式関数にポアソン括弧を形式化する。
• ポアソンイデアルによる商を介して、状態空間上の実数値連続関数の可換 $C^*$-代数上に対称導出作用素を定義する。
• これらの導出作用素が、閉包性が非自明な無限次元設定においても、$C_0$-群の収縮を生成することを証明する。
• 状態依存動的系を解析するための道具として、凸weak* Gâteaux微分を導入する。
• 無限次元における一般性の性質を調べるために、weak*–Hausdorff超位相を発展させる。この超位相は、無限次元における凸weak*コンパクト集合の極点の一般性を特徴付けるのに有効である。
• 状態に依存する $C^*$-動的系を構築し、量子的力学を変化する状態と関連付けることで、不変部分空間への還元によって古典的進化が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己整合性方程式を $C_0$-semigroup理論を用いて形式化することで、量子力学から古典的力学をどのように生成できるか？
• RQ2 $C^*$-代数上の汎関数に定義されたポアソン括弧が、量子的および古典的力学をどのように結びつけるか？
• RQ3 可換 $C^*$-代数上の非有界対称導出作用素が、状態空間上の関数に対していつ閉包可能であり、いつ $C_0$-群を生成するか？
• RQ4 weak*–Hausdorff超位相は、無限次元における凸weak*コンパクト集合の極点の一般性をどのように特徴付けるのだろうか？
• RQ5 状態依存 $C^*$-動的系は、どのように一貫した古典的進化則を導くのか？

主な発見

• 弱*連続汎関数の多項式関数に $C_0$-semigroup理論を用いてポアソン括弧を構成し、Bónaの枠組みをより広いクラスの $C^*$-代数へ拡張した。
• 状態空間上の実数値関数の可換 $C^*$-代数上での対称導出作用素が、無限次元でも $C_0$-群の収縮を生成することを示した。
• 凸weak* Gâteaux微分は、状態依存動的系を定義し、量子系における自己整合性を解析するための主要な道具として導入された。
• weak*–Hausdorff超位相が、超空間における収束性および一般性を解析する有効な道具であることが証明され、無限次元における凸weak*コンパクト集合は一般に、weak*稠密な極点境界を持つことが示された。
• 量子スピンや格子フェルミオン系に一般的に現れる非アントリミナル $C^*$-代数では、状態の集合が極点のweak*稠密な集合を持つことが示され、量子平均場系から古典的力学が生じることを支持する。
• この枠組みにより、最近のGross–PitaevskiiおよびHartree階層に関する結果を踏まえ、巨視的古典的力学が自己整合的進化を経て微視的量子過程から生じることを確認した。