[論文レビュー] Classification and Description of Bosonic Symmetry Protected Topological Phases with semiclassical Nonlinear Sigma models

Zhen Bi, Alex Rasmussen+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2013

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、すべての空間次元におけるボソン的対称性保護トポロジカル（SPT）相を分類し記述するための統一的半古典的非線形スギモデル（NLSM）フレームワークを提案する。本稿は、対称性の種類にかかわらず、すべてのこのようなSPT相が(d+1)次元時空におけるO(d+2) NLSMに、トポロジカルなΘ項を含めて記述可能であることを示し、これは群コホノロジーと同一の分類をもたらす。同時に、境界物理および欠陥構成の明示的解析を可能にする。

ABSTRACT

In this paper we systematically classify and describe bosonic symmetry protected topological (SPT) phases in all physical spatial dimensions using semiclassical nonlinear Sigma model (NLSM) field theories. All the SPT phases on a $d-$dimensional lattice discussed in this paper can be described by the same NLSM, which is an O(d+2) NLSM in $(d+1)-$dimensional space-time, with a topological $Θ-$term. The field in the NLSM is a semiclassical Landau order parameter with a unit length constraint. The classification of SPT phases discussed in this paper based on their NLSMs is consistent with the more mathematical classification based on group cohomology. Besides the classification, the formalism used in this paper also allows us to explicitly discuss the physics at the boundary of the SPT phases, and it reveals the relation between SPT phases with different symmetries. For example, it gives many of these SPT states a natural "decorated defect" construction.

研究の動機と目的

• すべての物理的空間次元における多様な連続的および離散的対称性を有するボソン的SPT相を体系的に分類すること。
• すべてのこのようなSPT相を半古典的非線形スギモデル（NLSM）を用いて普遍的な場理論的記述を確立すること。
• NLSMによる場理論的分類とSPT相の数学的群コホノロジー分類との関係を確立すること。
• SPT相における境界状態および対称性を豊かにした欠陥構造に関する明示的な物理的洞察を提供すること。

提案手法

• 本稿は、d次元SPT相の普遍的場理論として、(d+1)次元時空におけるO(d+2)非線形スギモデルを用いる。
• NLSMの作用には、異なるSPT相を区別するトポロジカルなΘ項が含まれており、Θ値がトポロジカル不変量を決定する。
• 順序パラメータ場は単位長に制約され、対称性変換が場の変換則に組み込まれた半古典的ランダウの順序パラメータを表す。
• 分類は、NLSM場の対称性変換およびそれに関連するインスタントン数の分析により導出され、これらはトポロジカル不変量に対応する。
• 本フレームワークは、異なる対称性作用を有する基本的相を組み合わせることでSPT状態の「装飾欠陥」構成を可能にする。
• 本手法は、時間反転対称性やゲージ対称性を含む複数の対称性を持つ系へ一般化可能であり、NLSM場の全対称群における変換性質を分析することで実現される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1つのNLSMフレームワークが、すべての空間次元および広範な対称性群に対して、すべてのボソン的SPT相を記述可能だろうか？
• RQ2 O(d+2) NLSM作用にトポロジカルなΘ項を含めることで、SPT相の異なるトポロジカル不変量がどのように記述されるか？
• RQ3 NLSM形式論がSPT相の境界状態を物理的にどのように解釈できるか？
• RQ4 NLSMフレームワークはどのようにしてSPT状態の「装飾欠陥」構成を自然に実現するか？
• RQ5 NLSMによる分類は、SPT相の群コホノロジー分類と同等だろうか？

主な発見

• Z2、Z2×Z2、U(1)、SO(3)、およびそれらの時間反転拡張を含む、本稿で検討されたすべての対称性を有するボソン的SPT相は、(d+1)次元時空におけるO(d+2) NLSMにΘ項を含めて記述可能である。
• NLSM形式論に基づく分類は、SPT相の群コホノロジー分類と完全に一致し、数学的および場理論的アプローチの整合性を確認する。
• NLSMフレームワークは境界物理の明示的解析を可能にし、境界状態が自発的対称性破れやトポロジカルオーダーによってギャップレスまたは degenerate になり得ることを明らかにする。
• 形式論は自然に「装飾欠陥」構成を実現し、異なる対称性作用を有する単純な基本的相を組み合わせることで、複雑なSPT相を構築可能である。
• Z2×Z2×Z2 対称性の場合、分類は1次元：(Z2)3、2次元：(Z2)7、3次元：(Z2)8 を得る。これは位相的位相空間の構造を確認する。
• NLSMアプローチは、順序パラメータがそれらの下で非自明に変換されることを要請することで、反転対称性などの格子対称性を含めることで拡張可能である。