[論文レビュー] Classification of Constructible Cosheaves

Justin Curry, Amit Patel|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、局所的にコーン型に分類された空間上の構成可能コシーブに、入り口パスの圏からの関手の間の圏的同値を確立し、特定の開被覆によって誘導される同型に基づく、構成可能性の新しい簡略化された条件を提示する。主な貢献は、MacPhersonの同値性を高次の圏論を避ける1-圏的枠組みで自己完結的に証明し、集合値の場合に分類された被覆へと拡張することである。

ABSTRACT

In this paper we prove an equivalence theorem originally observed by Robert MacPherson. On one side of the equivalence is the category of cosheaves that are constructible with respect to a locally cone-like stratification. Our constructibility condition is new and only requires that certain inclusions of open sets are sent to isomorphisms. On the other side of the equivalence is the category of functors from the entrance path category, which has points for objects and certain homotopy classes of paths for morphisms. When our constructible cosheaves are valued in $\mathsf{Set}$ we prove an additional equivalence with the category of stratified coverings.

研究の動機と目的

• . 特定の開被覆によって誘導される同型に基づく、構成可能コシーブの新しい、簡略化された定義を確立すること。
• . そのような構成可能コシーブと入り口パス圏からの関手の間の同値性を証明し、MacPhersonの観察を一般化すること。
• . 分類された被覆を、入り口パス圏からSetへの関手として分類することにより、古典的な被覆空間論を分類的設定へと拡張すること。
• . 純粋数学を超えた応用に適した、1-圏的枠組みにおける同値性の自己完結的かつアクセス可能な取り扱いを提供すること。

提案手法

• . 同一のストラトム内にある開集合の包含写像がコシーブで同型を誘導することを要請する、コシーブの新しい構成可能性条件を導入する。
• . あるストラトムに制御的に進入するパスの同値類を用いて入り口パス圏を定義し、同値関係は高々1つのストラトムを介した有限な短絡操作によって定義する。
• . 新しい同値関係に依存して、グリューリング公理と整合性を持つ、入り口パス圏におけるヴァン・コンペン型定理を証明する。
• . 構成可能コシーブから入り口パス圏への関手への完全かつ全単射な関手を構成し、主要な同値定理を証明する。
• . 同値性を用いて、入り口パス圏からSetへの関手として分類された被覆を分類する。
• . 分類が既知の例を回復することを確認する。例えば、Rのコーンによる円の基本被覆、Cにおけるznによるn重被覆など。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 . コシーブの構成可能性を、入り口パス圏との同値性を簡略化する形で再定義することは可能か？
• RQ2 . 局所的にコーン型に分類された空間上の構成可能コシーブを分類する、正確な圏的構造は何か？
• RQ3 . 分類された被覆は、入り口パス圏からSetへの関手を用いて完全に分類可能か？
• RQ4 . 高次の圏論を避ける、自己完結的な1-圈权論的証明がMacPhersonの同値性に対して存在するか？
• RQ5 . ストラトム同値性に沿った開集合の半順序の局所化によって、入り口パス圏を直接構成可能か？

主な発見

• . 特定の開被覆が同型を誘導することを要請する、コシーブの新しい構成可能性条件を導入した。この条件は古典的定義を含意する。
• . バイコンプリートな圏Ωに値をとる構成可能コシーブの圏は、入り口パス圏からΩへの関手の圏と同値である。
• . コシーブがSetに値をとる場合、同値性は分類された被覆の圏への制限として得られる。
• . 入り口パス圏は、高々1つのストラトムを介した有限な短絡を許容するパスの同値関係によって定義され、ヴァン・コンペン定理の成立を可能にする。
• . 分類は古典的例を回復する：円の基本被覆はZ上のシフト写像に対応する分類された被覆として得られ、znによるn重被覆は有限置換表現によって回復される。
• . この理論はMacPhersonの洞察を概念的に最小限の枠組みで提示し、入り口パス圏が開集合の半順序の局所化によって直接構成可能であることを示唆する。