[論文レビュー] Classifying fractionalization: symmetry classification of gapped Z2 spin liquids in two dimensions

Andrew M. Essin, Michael Hermele|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2012

Quantum many-body systems被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、対称性群 G に対して、任意の任意ons の分数化クラスをコhomology 群 H²(G, ℤ₂) の要素として特定することにより、2次元のギャップを持つ ℤ₂ スピン液体の対称性分類を導入する。異なる対称性クラス—対称性群の射影的表現によって定義される—は、対称性を破るか相転移を経ない限り、断続的につながりえないトポロジカルに異なる相を定義することを示している。正方格子空間群に時間反転および SO(3) スピン回転を加えた場合、分類により約 2²¹ = 2,098,176 種類の異なる対称性クラスが得られる。

ABSTRACT

We classify distinct types of quantum number fractionalization occurring in two-dimensional topologically ordered phases, focusing in particular on phases with Z2 topological order, that is, on gapped Z2 spin liquids. We find that the fractionalization class of each anyon is an equivalence class of projective representations of the symmetry group, corresponding to elements of the cohomology group H^2(G,Z2). This result leads us to a symmetry classification of gapped Z2 spin liquids, such that two phases in different symmetry classes cannot be connected without breaking symmetry or crossing a phase transition. Symmetry classes are defined by specifying a fractionalization class for each type of anyon. The fusion rules of anyons play a crucial role in determining the symmetry classes. For translation and internal symmetry, braiding statistics plays no role, but can affect the classification when point group symmetries are present. For square lattice space group, time reversal and SO(3) spin rotation symmetry, we find 2,098,176 ~ 2^21 distinct symmetry classes. We give an explicit construction of symmetry classes for square lattice space group symmetry in the toric code model. Via simple examples, we illustrate how information about fractionalization classes can in principle be obtained from the spectrum and quantum numbers of excited states. Moreover, the symmetry class can be partially determined from the quantum numbers of the four degenerate ground states on the torus. We also extend our results to arbitrary Abelian topological orders, and compare our classification with the related projective symmetry group classification of parton mean-field theories. Our results provide a framework for understanding and probing the sharp distinctions among symmetric Z2 spin liquids, and are a first step toward a full classification of symmetric topologically ordered phases.

研究の動機と目的

• 2次元のギャップを持つ ℤ₂ スピン液体における量子数分数化の異なるタイプを分類すること。
• 同じトポロジカルオーダーを持つが異なる対称性強化分数化を持つトポロジカルに秩序された相を区別する対称性分類フレームワークを確立すること。
• 群コhomology を用いて、対称性作用が任意ons にどのように射影的に作用するかを特定し、分数化パターンを分類すること。
• 異なる対称性クラスに属する相が、対称性を破るか相転移を経ない限り断続的に接続できないことを示すこと。
• 一般のアーベル的トポロジカルオーダーに対して、並進および内部対称性の下で分類を拡張し、既存の射影的対称性群手法と比較すること。

提案手法

• 対称性群 G の射影的表現を分類するため、群コhomology H²(G, ℤ₂) を用い、これにより任意ons の分数化クラスを記述する。
• 並進、内部、点群対称性を持つ系にこのフレームワークを適用し、並進および内部対称性ではバーニング統計が役立たないが、点群対称性では分類に影響を与えることを示す。
• 正方格子空間群、時間反転、SO(3) スピン回転を用いたトーリックコード模型において、11 個の射影的表現の生成集合を用いて明示的な対称性クラスを構成する。
• トーラス上の4重に degenerate な基底状態空間への局所的ヒルベルト空間の分解（体積部とグローバル部に分離）を用いて、対称性作用の変換則を導出する。
• 関係式 S_a|ψ_α⟩ = S_a(R)S_a^G|ψ_α⟩ を用い、局所的およびグローバルな対称性作用を分離し、励起状態の量子数から分数化クラスを抽出可能にする。
• 正方格子空間群に時間反転およびスピン回転を加えた場合、11 個の σ パrameter が因子集合において H²(G, ℤ₂) ≅ ℤ₂¹¹ を生成し、すべての 2¹¹ = 2,098,176 個のクラスが実現可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称性が存在する場合、ℤ₂ スピン液体における異なるタイプの分数化はどのように分類できるか？
• RQ2 同じトポロジカルオーダーを持つが、異なる対称性分数化を持つ2つのギャップを持つ ℤ₂ スピン液体が、断続的に接続可能かどうかを決定するのは何であるか？
• RQ3 並進、時間反転、点群対称性は、任意ons の可能な分数化パターンをどのように制限するか？
• RQ4 励起状態または基底状態空間の量子数から、ℤ₂ スピン液体の対称性クラスを特定できるか？
• RQ5 時間反転およびスピン回転を含む正方格子空間群などの与えられた対称性群下での、完全な対称性強化 ℤ₂ スピン液体相の集合は何か？

主な発見

• 各任意ons の分数化クラスは、対称性群の射影的表現の同値類であり、H²(G, ℤ₂) の要素によって分類される。
• 時間反転および SO(3) スピン回転を含む正方格子空間群に対しては、正確に 2,098,176 個の異なる対称性クラスが存在し、これは H²(G, ℤ₂) ≅ ℤ₂¹¹ に相当する。
• 分類は完全ではない。これは、対称性作用によって任意ons が置換される場合を含まないためであり、現在のフレームワークではその置換は考慮されていない。
• トーラス上の4重に degenerate な基底状態の量子数は、対称性クラスを部分的に決定でき、分数化の測定可能なシグネチャーを提供する。
• このフレームワークにより、励起状態のスペクトルおよび量子数から、単一の任意ons やフラックスを含む準粒子励起の分数化クラスを特定可能である。
• すべての 2¹¹ = 2,098,176 個の可能な因子集合が、11 個の射影的表現のテンソル積により実現可能な、11 個の生成射影的表現の集合が構成された。