[論文レビュー] Closedness of convex sets in Orlicz spaces with applications to dual representation of risk measures

Niushan Gao, Denny H. Leung+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2016

Risk and Portfolio Optimization参考文献 22被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、Orlicz空間 $L^\Phi$ のノルム有界な凸集合について、順序閉性（a.s. 収束に関して閉じていること）と $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$-閉性が同値であるための必要十分条件を確立している。その条件は、共役Orlicz関数 $\Phi$ または $\Psi$ の少なくとも一方が $\Delta_2$-条件を満たすことである。主な貢献は、$\Phi$ と $\Psi$ がともに $\Delta_2$-条件を満たさない場合に、Fenchel-Moreau双対表現を有さないFatou性質を有する一貫したリスク測度が存在することを示したことである。これはファイナンシャルマセマティクス分野における長年の未解決問題を解決するものである。

ABSTRACT

Let $(\\Phi,\\Psi)$ be a conjugate pair of Orlicz functions. A set in the Orlicz space $L^\\Phi$ is said to be order closed if it is closed with respect to dominated convergence of sequences of functions. A well known problem arising from the theory of risk measures in financial mathematics asks whether order closedness of a convex set in $L^\\Phi$ characterizes closedness with respect to the topology $\\sigma(L^\\Phi,L^\\Psi)$. (See [26, p.3585].) In this paper, we show that for a norm bounded convex set in $L^\\Phi$, order closedness and $\\sigma(L^\\Phi,L^\\Psi)$-closedness are indeed equivalent. In general, however, coincidence of order closedness and $\\sigma(L^\\Phi,L^\\Psi)$-closedness of convex sets in $L^\\Phi$ is equivalent to the validity of the Krein-Smulian Theorem for the topology $\\sigma(L^\\Phi,L^\\Psi)$; that is, a convex set is $\\sigma(L^\\Phi,L^\\Psi)$-closed if and only if it is closed with respect to the bounded-$\\sigma(L^\\Phi,L^\\Psi)$ topology. As a result, we show that order closedness and $\\sigma(L^\\Phi,L^\\Psi)$-closedness of convex sets in $L^\\Phi$ are equivalent if and only if either $\\Phi$ or $\\Psi$ satisfies the $\\Delta_2$-condition. Using this, we prove the surprising result that: \\emph{If (and only if) $\\Phi$ and $\\Psi$ both fail the $\\Delta_2$-condition, then there exists a coherent risk measure on $L^\\Phi$ that has the Fatou property but fails the Fenchel-Moreau dual representation with respect to the dual pair $(L^\\Phi, L^\\Psi)$}. A similar analysis is carried out for the dual pair of Orlicz hearts $(H^\\Phi,H^\\Psi)$.

研究の動機と目的

• Orlicz空間 $L^\Phi$ の凸集合について、順序閉性が $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$-閉性を意味するかどうかという未解決問題を解消すること。
• $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$-位相におけるKrein-Smulian定理の成立条件を特定し、それとOrlicz関数の $\Delta_2$-条件の関係を同定すること。
• Orlicz空間およびOrliczハート空間における一貫したリスク測度の双対表現に及ぼす影響を調査すること。
• 両方の $\Phi$ と $\Psi$ が $\Delta_2$-条件を満たさない場合に、Fatou性質を有するがFenchel-Moreau双対表現を有さない一貫したリスク測度が存在することを示すこと。

提案手法

• Banach函数空間における双対性理論、特にOrlicz空間 $L^\Phi$ とその双対空間 $L^\Psi$ のペアリングを用いる。
• $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$-位相の文脈でKrein-Smulian定理を適用し、凸集合の閉性を特徴付ける。
• ノルム有界な列がa.s. 収束する場合の $L^\Phi$ および $H^\Phi$ における順序閉性を調べるため、列の解析と有界収束定理の技法を用いる。
• Orliczハート空間 $H^\Phi$ 内の確率変数の列を用いて、$\Phi$ と $\Psi$ が $\Delta_2$-条件を満たさない場合に $\sigma(H^\Phi, H^\Psi)$-閉性が順序閉性を意味しないことを示す明示的反例を構成する。
• 座標ごとの収束および $c_0$ と $\ell^1$ におけるノルム収束を用いて、双対ペアにおける代表集合の構造を分析し、凸集合への属するかを検証する。
• Fenchel-Moreau双対性定理を用いて、リスク測度の下方連続性と双対表現の関係を関係づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Orlicz関数 $\Phi$ と $\Psi$ にどのような条件を課すと、$L^\Phi$ 内の凸集合について順序閉性と $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$-閉性が同値となるか？
• RQ2 Krein-Smulian定理が $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$-位相に関して成り立つのは、$\Phi$ もしくは $\Psi$ の少なくとも一方が $\Delta_2$-条件を満たす場合に限るのか？
• RQ3 $L^\Phi$ 上の一貫したリスク測度がFatou性質を有するが、双対ペア $(L^\Phi, L^\Psi)$ に関して双対表現を有さないことはあり得るか？
• RQ4 $\Delta_2$-条件と、Orlicz空間におけるリスク測度の双対表現の存在性との関係は何か？
• RQ5 両方の $\Phi$ と $\Psi$ が $\Delta_2$-条件を満たさない場合、Fatou性質を有するが双対表現を有さない一貫したリスク測度が存在するか？

主な発見

• Orlicz空間 $L^\Phi$ 内の凸集合について、順序閉性と $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$-閉性が同値であるための必要十分条件は、$\Phi$ または $\Psi$ の少なくとも一方が $\Delta_2$-条件を満たすことである。
• ノルム有界な凸集合について、順序閉性と $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$-閉性が同値であるための必要十分条件は、$\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$-位相におけるKrein-Smulian定理の成立である。
• 両方の $\Phi$ と $\Psi$ が $\Delta_2$-条件を満たさない場合、Fatou性質を有するがFenchel-Moreau双対表現を有さない $L^\Phi$ 上の一貫したリスク測度が存在する。
• 同様に、Orliczハート空間の設定でも双対表現の失敗が生じる：両方の $\Phi$ と $\Psi$ が $\Delta_2$-条件を満たさない場合、$H^\Phi$ 上にFatou性質を有するが双対表現を有さない一貫したリスク測度が存在する。
• 証明では、$H^\Phi$ 内の列 $X_{sr}$ が $\sigma(H^\Phi, H^\Psi)$-位相で $-W_0$ に収束するが、$-W_0$ は元の凸集合 $\mathcal{C}$ には属さないため、$\mathcal{C}$ は $\sigma(H^\Phi, H^\Psi)$-閉でないことが示された。
• この構成は、$c_0$ と $\ell^1$ における座標ごとの収束、$H^\Phi$ 内でのノルム有界性、および双対空間における列の挙動を制御するための射影 $\mathcal{P}_j$ の使用に依存している。