[論文レビュー] Closure of Steinberg fibers and affine Deligne-Lusztig varieties

Xuhua He|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、アフィン・デリーニュ＝ルスティグ多様体 $X_w(1)$ の空または非空性と、万全的コン pactification $\bar{G}$ 内の $B \times B$-軌道におけるスタインバーグ纤维の閉包との交わりの間に対応関係を確立する。$w$ の移動部が準正則である場合、スプリンガーの特化写像を用いて、$X_w(1)$ が空または非空であることと、対応する $\bar{G}$ 内の交わりが空または非空であることの必要十分条件であることを証明する。これにより、スタインバーグ纤维の閉包の記述に対する新しい証明が得られ、最低の2つの二面体セルを超えた結果の拡張もなされる。

ABSTRACT

We discuss some connections between the closure $\bar F$ of a Steinberg fiber in the wonderful compactification of an adjoint group and the affine Deligne-Lusztig varieties $X_w(1)$ in the affine flag variety. Among other things, we describe the emptiness/nonemptiness pattern of $X_w(1)$ if the translation part of $w$ is quasi-regular. As a by-product, we give a new proof of the explicit description of $\bar F$, first obtained in \cite{H1}.

研究の動機と目的

• アフィン旗多様体内のアフィン・デリーニュ＝ルスティグ多様体 $X_w(1)$ の空性／非空性のパターンを理解すること。
• このパターンを万全的コン pactification $\bar{G}$ 内のスタインバーグ纤维の閉包の幾何学と関連付けること。
• 既に [9] で確立されたスタインバーグ纤维の閉包の明示的記述に対する新しい証明を提供すること。
• 拡張されたアフィンワイル群の最低の2つの二面体セルを超えて、空性／非空性基準を拡張すること。
• $G(L)$ 内の $K$-安定な部分と $\bar{G}$ 内の $G$-安定な部分の間の対応関係を確立すること。また、$I' \times I'$-軌道と $B \times B$-軌道の間の対応関係も同定すること。

提案手法

• ループ群 $G(L)$ から万全的コン pactification $\bar{G}$ へのスプリンガーの特化写像を用い、これにより軌道分解の間の対応関係を導出する。
• $G(L)$ の $I' \times I'$-軌道への分解を分析し、特化写像を通じて $\bar{G}$ の $B \times B$-軌道への分解と関連付ける。
• $G(L)$ の $K$-安定な部分への分解を研究し、$\bar{G}$ の $G$-安定な部分への分解（閉包関係を含む）と関連付ける。
• 拡張されたアフィンワイル群 $\tilde{W}$ 内の準正則な移動部の概念を用いて、$X_w(1)$ の空性を分類する。
• 組合せ的群論とルート系のデータ（例：$\rho^\vee_J$, $I(\lambda)$, $W^J$）を用いて、ワイル群の元のサポート条件を分析する。
• [9], [10], [11], [12], および [7] の結果を用い、帰納法と軌道の包含関係の議論により主要定理を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 移動部が準正則である $w$ に対して、アフィン・デリーニュ＝ルスティグ多様体 $X_w(1)$ が非空であるのはいつか？
• RQ2 万全的コン pactification $\bar{G}$ 内のスタインバーグ纤维の閉包の幾何学は、$X_w(1)$ とどのように関係するか？
• RQ3 $X_w(1)$ の空性／非空性パターンは、$\bar{G}$ 内の $B \times B$-軌道との交わりを通じて特定可能か？
• RQ4 拡張されたアフィンワイル群 $\tilde{W}$ の最低の2つの二面体セルの外にある $w$ に対して、$X_w(1)$ が非空である明確な条件は何か？
• RQ5 ループ群から万全的コン pactification への特化写像は、軌道および安定性データを両者間でどの程度正確に移行できるか？

主な発見

• 移動部が準正則である $w$ に対して、$X_w(1)$ が空であるための必要十分条件は、スタインバーグ纤维の閉包と対応する $\bar{G}$ 内の $B \times B$-軌道との交わりが空であることである。
• 移動部が準正則である $w$ に対して、$X_w(1)$ が非空であることと、$\bar{F}$ と $w$ でインデックス付けられた $B \times B$-軌道との交わりが非空であることは同値である。
• 既に [9] で得られたスタインバーグ纤维の閉包 $\bar{F}$ の記述に対する新しい証明が与えられ、特化写像と軌道対応を用いる。
• 論文は、$w = x\epsilon^{-\lambda}y^{-1}$ で $\lambda \in Y^+$, $I(\lambda) = J \subsetneq S$ のとき、$\text{supp}(y^{-1}x) \neq S$ ならば $X_w(1) = \emptyset$ であることを証明し、[7, 系9.4.4] を拡張する。
• 特に $y=1$ かつ $\text{supp}(x)=S$、またはすべての $u \in W_J$ に対して $\text{supp}(uy^{-1}xu^{-1}) = S$ であるとき、適切な支配的およびサイズ条件の下で、Corollary 5.3(2) で示されるように $X_w(1) \neq \emptyset$ である。
• 空性に十分でない例が提示され、$\text{supp}(y^{-1}x) = S$ だけでは不十分であり、すべての $u \in W_J$ に対して $\text{supp}(uy^{-1}xu^{-1}) = S$ であるというより強い条件が必要であることが示された。