[論文レビュー] CM-lifts for Isogeny Classes of Shimura F-crystals over Finite Fields

Adrian Vasiu|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2003

Finite Group Theory Research参考文献 52被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、有限体上におけるシュミラ F-クリスタルの同一型類が混合特徴類 (0,p) に引き上げられることを確立し、複素乗乗法をもつアーベル多様体に関するジンクの結果を一般化する。再帰的群スキームがデュドネモジュールに作用する場合、コカラクターの適切性と内部同型を用いて、離散付値環上の整数的モデルを構成することで、このような引き上げが存在することを証明する。

ABSTRACT

We extend to large contexts pertaining to Shimura varieties of Hodge type a result of Zink on the existence of lifts to characteristic 0 of suitable representatives of certain isogeny classes of abelian varieties endowed with Frobenius and other endomorphisms over $\dbF_{p^q}$, whose $p$-divisible groups in mixed characteristic $(0,p)$ are with complex multiplication.

研究の動機と目的

• シュミラ型のヒッジ型のシュミラ多様体に一般化して、ジンクの複素乗乗法の引き上げ結果を拡張すること。
• 有限体上におけるシュミラ F-クリスタルの同一型類が混合特徴類 (0,p) に引き上げられることを確立すること。
• 再帰的群スキームの文脈において、コカラクターの適切性と内部同型を用いて、このような引き上げを特徴付けること。
• フィルトレーション付き F-クリスタルと複素乗乗法を備えた状況において、シュミラ多様体の整数的モデルを構成する枠組みを提供すること。

提案手法

• 再帰的群スキームの理論とウィール制限を用いて、有限体上におけるシュミラフィルター付き F-クリスタルを定義・分析する。
• デュドネモジュール理論を適用し、p-可除群を自由な W(k)-加群に、σ-線形自己準同型を備えて表現する。
• コカラクターの適切性条件を用いて、ホッジ構造および複素乗乗法と整合するように保証する。
• 群スキーム G(B(k)) 内の内部同型を用い、ガロア理論的意味での共轭を介して F-クリスタルの同一型類を分類する。
• 結果 [Zi1, Thm. 4.4] および [Ha, Lem. 5.5.3] を適用し、W(k) の有限拡大への基底変換後に引き上げを構成する。
• 適切なフィルター付きモジュールが直和に関して安定であることを確立し、再帰的群スキームの単純成分への帰納的議論を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体上におけるシュミラ F-クリスタルの同一型類が混合特徴類 (0,p) に引き上げられるための条件は何か？
• RQ2 コカラクターの適切性と群スキーム作用を用いて、このような引き上げの存在をどのように特徴付けることができるか？
• RQ3 G(B(k)) 内の内部同型は、複素乗乗法をもつ F-クリスタルの同一型類の分類においてどのような役割を果たすか？
• RQ4 F-クリスタルデータを用いて、アーベル多様体を越えて一般のヒッジ型シュミラ多様体へ引き上げ結果を拡張できるか？
• RQ5 自己準同型のリー代数とフィルトレーション F^1 は、引き上げの底面でのフィルター付きモジュールの適切性を保証するためにどのように作用するか？

主な発見

• 有限体 F_q 上におけるシュミラ F-クリスタルの同一型類は、関連するコカラクターが適切である限り、混合特徴類 (0,p) の離散付値環へ引き上げ可能である。
• 各 h ∈ I(C) に対して、三重組 (h(M), φ, G(h)) は k 上におけるシュミラ F-クリスタルをなす。このような三重組は内部同型を除いて分類可能である。
• CM 引き上げの存在は、引き上げの底面の環上でのフィルター付きモジュール (M[1/p], φ, F^1 ∩ M[1/p]) の適切性と同値である。
• 構成は直和に関して安定であり、再帰的群スキームの単純成分への還元を可能にする。
• ホッジコカラクター μ₁ は K₁ から K₂ へ拡張され、適切な共轭の下で元の F-クリスタルのコカラクターと一致する。
• GL_M[1/p] 内の T₁,B(k) の中心化群は、T′₁,B(k) を含むトーラスであり、そのリー代数は B(k) 上で e_A の元によって生成される。