[論文レビュー] Coframe geometry and gravity

Yakov Itin|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2007

Advanced Differential Geometry Research参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、n次元多様体上に、コフレーム場のみに依存する重力モデルの幾何化を可能にする、完全な線形コフレーム接続のクラスを構成することにより、コフレーム重力の幾何的定式化を提案する。主な貢献は、一般コフレーム接続を用いた一般化されたアインシュタイン＝ヒルベルト作用、これは標準的なコフレームラグランジアンと全微分の差異を除いて同一のスカラー曲率を与える。特に、高階微分項を含まない接続の部分集合が存在し、標準モデルと完全に等価である。

ABSTRACT

The possible extensions of GR for description of fermions on a curved space, for supergravity and for loop quantum gravity require a richer set of 16 independent variables. These variables can be assembled in a coframe field, i.e., a local set of four linearly independent 1-forms. In the ordinary formulation, the coframe gravity does not have any connection to a specific geometry even being constructed from the geometrical meaningful objects. A geometrization of the coframe gravity is an aim of this paper. We construct a complete class of the coframe connections which are linear in the first order derivatives of the coframe field on an $n$ dimensional manifolds with and without a metric. The subclasses of the torsion-free, metric-compatible and flat connections are derived. We also study the behavior of the geometrical structures under local transformations of the coframe. The remarkable fact is an existence of a subclass of connections which are invariant when the infinitesimal transformations satisfy the Maxwell-like system of equations. In the framework of the coframe geometry construction, we propose a geometrical action for the coframe gravity. It is similar to the Einstein-Hilbert action of GR, but the scalar curvature is constructed from the general coframe connection. We show that this geometric Lagrangian is equivalent to the coframe Lagrangian up to a total derivative term. Moreover there is a family of coframe connections which Lagrangian does not include the higher order terms at all. In this case, the equivalence is complete.

研究の動機と目的

• コフレーム重力モデルに幾何的構造が欠如している問題に対処し、物理的ラグランジアンに依存するが、内在的な幾何的意味を持たないモデルを補完すること。
• 計量を伴う・伴わないn次元多様体上に、コフレーム場の1階微分に線形な完全なコフレーム接続のクラスを構成すること。
• ねじれがなく、計量に適合する、または平坦な接続の部分集合を同定し、それらの幾何的および物理的性質を分析すること。
• 一般相対性理論におけるアインシュタイン＝ヒルベルト作用に類似した、コフレーム重力の幾何的作用を確立し、標準的なコフレームラグランジアンと全微分の差異を除いて等価であることを保証すること。
• 無限小変換に対して不変である接続の部分集合を同定し、それらがマクスウェル型系に従う変換を満たす場合を想定し、より深い幾何的・物理的意義を示唆すること。

提案手法

• n次元多様体上に、コフレーム場の1階微分に線形な一般コフレーム接続のクラスを構成すること。
• コフレーム接続のねじれおよび非計量性テンソルを導出し、ねじれなし・計量適合接続の条件を同定すること。
• 一般コフレーム接続から構成されるスカラー曲率を用いて、一般化されたアインシュタイン＝ヒルベルトラグランジアンを導入すること。
• 幾何的ラグランジアンが、全微分項の差異を除いて標準的なコフレームラグランジアンと等価であることを示すこと。
• 幾何的ラグランジアンに高階微分項を含まないコフレーム接続の族を同定し、標準モデルと完全に等価であることを保証すること。
• 局所的コフレーム変換における幾何的構造の振る舞いを分析し、マクスウェル型系の式を満たす変換に対して不変である部分集合を同定すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 計量や事前に定義された接続に依存せずに、コフレーム場から一貫性のある幾何的構造を構築できるか？
• RQ2 計量を伴う・伴わない多様体上に定義可能な、線形コフレーム接続の完全なクラスは何か？ それらの曲率、ねじれ、非計量性の性質は何か？
• RQ3 一般相対性理論におけるアインシュタイン＝ヒルベルト作用に類似した、コフレーム重力の幾何的作用をどのように構築できるか？
• RQ4 幾何的ラグランジアンが標準的なコフレームラグランジアンと等価となる条件は何か？ また、高階微分項が存在しない条件は何か？
• RQ5 マクスウェル型系の式を満たす局所変換に対して不変であるコフレーム接続の部分集合は存在するか？ それらは基礎となる幾何にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 計量を伴う・伴わないn次元多様体上に、コフレーム場の1階微分に線形な完全なコフレーム接続のクラスが構成された。
• 一般構成からねじれなし・計量適合・平坦な接続の部分集合が導出され、幾何的整合性の条件が得られた。
• 一般コフレーム接続に基づく一般化されたアインシュタイン＝ヒルベルトラグランジアンが、全微分項の差異を除いて標準的なコフレームラグランジアンと等価であることが示された。
• 幾何的ラグランジアンに高階微分項を含まない特定のコフレーム接続の族が存在し、標準モデルと完全に等価であることが保証された。
• マクスウェル型系の式を満たす変換に対して不変である接続の部分集合が存在し、これは深い幾何的およびおそらく物理的対称性を示唆している。
• モデルは物理的妥当なシュバルツシルト解と、明確に定義された重力エネルギーテンソルを生成し、標準一般相対性理論の主要な限界を解消した。