[論文レビュー] Coherence and Elicitability

Johanna F. Ziegel|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2013

Risk and Portfolio Optimization参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、法則不変なスペクトルリスク尺度の中で、唯一の尤度推定可能なのは負の期待値であることを確立しており、これは期待ショートフォールドや他のスペクトルリスク尺度について、意味のある予測検証や推定手法の比較が不可能であることを意味する。しかし、本論文は、期待値が唯一の尤度推定可能な法則不変な一貫性リスク尺度であると特定し、リスク予測およびモデル評価のための統計的に妥当な代替手段を提供する。

ABSTRACT

The risk of a financial position is usually summarized by a risk measure. As this risk measure has to be estimated from historical data, it is important to be able to verify and compare competing estimation procedures. In statistical decision theory, risk measures for which such verification and comparison is possible, are called elicitable. It is known that quantile based risk measures such as value at risk are elicitable. In this paper we show that law-invariant spectral risk measures such as expected shortfall are not elicitable unless they reduce to minus the expected value. Hence, it is unclear how to perform forecast verification or comparison. However, the class of elicitable law-invariant coherent risk measures does not reduce to minus the expected value. We show that it consists of certain expectiles.

研究の動機と目的

• 法則不変な一貫性リスク尺度の中で、尤度推定可能なものを特定し、客観的な予測評価およびモデル比較を可能にする。
• 期待ショートフォールド（ES）のようなリスク尺度の予測検証の統計的課題、特にESが尤度推定可能でないという点を解消する。
• 一貫性と尤度推定可能性の両方を満たす一貫性リスク尺度のクラスを同定し、リスク測定理論における重要なギャップを埋める。
• スペクトルリスク尺度（例：ES）が予測評価のための適切なスコア関数を欠いているという点を踏まえ、意思決定理論的に妥当な代替手段を提供する。
• 金融リスク管理におけるESの代替手段として、期待値を実用的で統計的に堅牢な代替手段として提唱する。

提案手法

• Gneiting（2011）の尤度推定の枠組みを用い、確率分布上の汎関数としてのスペクトルリスク尺度を分析する。
• 法則不変な一貫性リスク尺度のKusuoka表現を用いて、その構造と尤度推定可能性を特徴付ける。
• 凸解析および統合スペクトル関数の性質を用いて、負の期待値を除くスペクトルリスク尺度の非尤度推定可能性を証明する。
• 非対称最小二乗の定義を活用し、期待値が非対称最小二乗最小化問題の解として定義されることを示し、分位数回帰の原則と関連付ける。
• Kusuoka表現における期待値の最小生成集合が一意的であり、特定のスペクトル関数のクラスに対応することを確立する。
• スペクトル関数が0および1における挙動について背理法および極限の議論を用い、非期待値スペクトルリスク尺度に対して一貫性のあるスコア関数が存在しないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 法則不変な一貫性リスク尺度の中で、尤度推定可能なものは何か。これにより、客観的な予測検証およびモデル比較が可能になる。
• RQ2 なぜ期待ショートフォールド（ES）は尤度推定可能でないのか。その統計的影響は、リスク測定およびバックテストにどのような意味を持つのか。
• RQ3 負の期待値以外に、一貫性と尤度推定可能性の両方を満たす一貫性リスク尺度は存在するか。
• RQ4 期待値は一貫性リスク測定において果たす役割は何か。統計的性質の観点から、スペクトルリスク尺度と比較してどのように異なるか。
• RQ5 意思決定理論的に妥当な代替手段として、スペクトルリスク尺度のための一貫性のある予測評価を可能にするものはあるか。

主な発見

• 法則不変なスペクトルリスク尺度の中で、尤度推定可能なのは唯一の負の期待値であり、これにより期待ショートフォールドを含む他のすべてのスペクトルリスク尺度は尤度推定可能でない。
• 期待値が唯一の法則不変な一貫性リスク尺度で尤度推定可能なものであり、予測検証およびモデル比較のための統計的に妥当な根拠を提供する。
• 期待値の尤度推定可能性は、非対称最小二乗最小化問題の解としての定義に直接起因し、分位数回帰の原則に類似している。
• 期待ショートフォールドの非尤度推定可能性は、競合する予測を順位付けする一貫性のあるスコア関数が存在しないことを意味し、客観的なモデル比較を損なう。
• Gneiting（2011）によるESの非尤度推定可能性の結果が、非退化スペクトルリスク尺度全般に拡張され、根本的な統計的制限を確認する。
• 確率的予測および適切なスコア関数は代替策を提供する可能性があるが、一貫性のある枠組みの中でスペクトルリスク尺度の直接的で尤度推定可能な代替手段として期待値が唯一の選択肢を提供する。