[論文レビュー] Cohomological Hall algebras and perverse coherent sheaves on toric Calabi-Yau 3-folds

Miroslav Rapčák, Yan Soibelman+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 66被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、特異的でないトーリックCalabi-Yau 3-fold X 上の余閉ホモロジー代数（COHA）と perverse coherent sheaf の間の関係を、COHA のドリンフェルト双対を構成し、それが上げ下げ作用素を介して sheaf のモジュライ空間に作用することによって確立する。主な貢献は、幾何から導かれる根系に関連するシフトされたヤンギアンを介して、この作用がファクタライズするという予想であり、そのシフトは3-fold内の交差数によって決定される。

ABSTRACT

We study the Drinfeld double of the (equivariant spherical) Cohomological Hall algebra in the sense of Kontsevich and Soibelman, associated to a smooth toric Calabi-Yau 3-fold $X$. By general reasons, the COHA acts on the cohomology of the moduli spaces of certain perverse coherent systems on $X$ via "raising operators". Conjecturally the COHA action extends to an action of the Drinfeld double by adding the "lowering operators". In this paper, we show that the Drinfeld double is a generalization of the notion of the Cartan doubled Yangian defined earlier by Finkelberg and others. We extend this "$3d$ Calabi-Yau perspective" on the Lie theory furthermore by associating a root system to certain families of $X$. We formulate a conjecture that the above-mentioned action of the Drinfeld double factors through a shifted Yangian of the root system. The shift is explicitly determined by the moduli problem and the choice of stability conditions, and is expressed explicitly in terms of an intersection number in $X$. We check the conjectures in several examples, including a special case of an earlier conjecture of Costello.

研究の動機と目的

• 余閉ホモロジー代数（COHA）の作用を、下げる作用素を含むドリンフェルト双対を構成することで、 perverse coherent sheaf のモジュライ空間へ拡張すること。
• トーリックCalabi-Yau 3-fold からの幾何的データを用いて、3次元Calabi-Yau設定へのカルタン二重ヤンギアンの概念を一般化すること。
• トーリックCalabi-Yau 3-fold の族に根系を関連付け、その根系に関するシフトされたヤンギアンを介してドリンフェルト双対作用がファクタライズするという予想を提示すること。
• 特に、解消されたコニカルとC^3の主要な例において予想を検証し、コスタロの以前のシフトされたヤンギアンに関する予想と関連付けること。
• 交差数と安定性条件を介して、モジュライ問題におけるシフトされたヤンギアンの幾何的実現を提供すること。

提案手法

• 滑らかなトーリックCalabi-Yau 3-fold X から導かれるクーヴィーとポテンシャルに付随する（等化的球面的）COHA のドリンフェルト双対を構成する。
• 解体 f:X→Y によって誘導される D^b(Coh(X)) 上の t-構造を用いて、生成子の自己準同型代数としてCOHAを定義する。
• X 上の perverse coherent 系のモジュライ空間のコホモロジーへの畳み込み作用を介して、上げ作用素を定義する。
• ドリンフェルト双対構造を完成させるために、下げる作用素を導入し、予想的にCOHA作用をヤンギアンに類似した代数へ拡張する。
• X 内の交差数を介して、シフトされたヤンギアンにおけるシフトを明示的に表現し、安定性条件およびモジュライ問題と関連付ける。
• 臨界コホモロジーにおけるジェフリーズ＝キルワンの留数公式を用いて、押し出しを計算し、ドリンフェルト双対の固定点における作用を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドリンフェルト双対のCOHAは、トーリックCalabi-Yau 3-fold 上の perverse coherent sheaf のモジュライ空間のコホモロジーにどのように作用するか？
• RQ2 ドリンフェルト双対は、3-fold の幾何に自然に関連する根系に付随するシフトされたヤンギアンとして実現可能か？
• RQ3 シフトされたヤンギアンにおけるシフトパラメータの幾何的起源は何か？ そして、X 内の交差数によってどのように決定されるか？
• RQ4 C^3 および解消されたコニカルの場合に、ドリンフェルト双対の作用は gl(1) のシフトされたヤンギアンを介してファクタライズされるか？
• RQ5 安定性条件および t-構造の選択は、得られるヤンギアンの構造とその表現論にどのように影響するか？

主な発見

• トーリックCalabi-Yau 3-fold 上のCOHA のドリンフェルト双対は、上げ下げ作用素を介して、perverse coherent sheaf のモジュライ空間のコホモロジーに作用する。
• ドリンフェルト双対はカルタン二重ヤンギアン構成を一般化し、3次元Calabi-Yauの文脈に拡張する。
• COHA のドリンフェルト双対作用が、トーリック3-fold から導かれる根系に関連するシフトされたヤンギアンを介してファクタライズするという予想が提示された。そのシフトはX 内の交差数によって決定される。
• C^3 の場合、シフトされたヤンギアン gl(1) は点のヒルベルトスキームを介して実現され、ヤンギアンの関係がコホモロジーで検証された。
• 解消されたコニカルの場合、COHA の作用はPTモジュライ空間上で計算され、等化的コホモロジーと留数公式を用いて固定点が解析された。
• 臨界コホモロジーにおける留数押し出し公式を用いて、ドリンフェルト双対の作用を計算し、その結果を固定点成分上の留数の和として表現した。これにより、主要な例において予想が確認された。