[論文レビュー] Holography and Koszul duality: the example of the $M2$ brane

Kevin Costello|arXiv (Cornell University)|May 6, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 19被引用数 47

ひとこと要約

本稿は、ΩバックグラウンドにおけるM2-braneの文脈において、コシュール双対性を用いてホログラフィー的AdS/CFT対応を精確に実現する。大K極限において、K個のM2-brane上のスピン角運動量保存演算子の代数が、同じバックグラウンドにおける11次元スーパ的热情力の代数とコシュール双対であることを示し、両代数が量子二重ループ代数として完全に量子化され、すべての摂動的順序で成り立つことを示している。

ABSTRACT

Si Li and author suggested in that, in some cases, the AdS/CFT correspondence can be formulated in terms of the algebraic operation of Koszul duality. In this paper this suggestion is checked explicitly for $M2$ branes in an $Ω$-background. The algebra of supersymmetric operators on a stack of $K$ $M2$ branes is shown to be Koszul dual, in large $K$, to the algebra of supersymmetric operators of $11$-dimensional supergravity in an $Ω$-background (using the formulation of supergravity in an $Ω$-background presented in arXiv:1610.04144). The twisted form of supergravity that is used here can be quantized to all orders in perturbation theory. We find that the Koszul duality result holds to all orders in perturbation theory, in both the gravitational theory and the theory on the $M2$. (However, there is a certain non-linear identification of the coupling constants on each side which I was unable to determine explicitly). It is also shown that the algebra of operators on $K$ $M2$ branes, as $K o \infty$, is a quantum double-loop algebra (a two-variable analog of the Yangian). This algebra is also the Koszul dual of the algebra of operators on the gravitational theory. An explicit presentation for this algebra is presented, and it is shown that this algebra is the unique quantization of its classical limit. Some conjectural applications to enumerative geometry of Calabi-Yau threefolds are also presented.

研究の動機と目的

• AdS/CFTにおけるホログラフィーが、特にM2-braneの文脈においてコシュール双対性によって記述可能かどうかを検証すること。
• Ωバックグラウンド下のK個のM2-brane上のスピン角運動量保存演算子の代数が、同じバックグラウンド下の11次元スーパ的热情力の代数とコシュール双対であるかどうかを検証すること。
• この双対性が、M2-brane理論およびスーパ的热情力理論の両方において、すべての摂動的順序で成り立つことを示すこと。
• Kが大きい極限におけるM2-braneの演算子代数が、ヤンゲンの二変数一般化である量子二重ループ代数として特定されることを示すこと。
• この代数の古典的極限の量子化が一意的であることを証明し、またそれがナカジマのクイバー多様体の変形量子化に関連することを示すこと。

提案手法

• 以前に[Cos16]で構築された、Ωバックグラウンド下の11次元スーパ的热情力のねじれ形式を用い、これを非可換5次元ゲージ理論に写像する。
• M2-brane理論とねじれたスーパ的热情力理論の演算子代数を結ぶために、数学的枠組みとしてコシュール双対性を適用する。
• 代数的複体の微分構造を解析するために、ホッフホルムホモロジーおよびコホモロジーの技法を用いる。
• 非可換代数 $\mathbb{C}[z_1, z_2]$ にモーリー積を備えた、循環テンソルおよび双加群構造を用いて、コシュール双対複体のチェーンレベルモデルを構成する。
• 変形理論を用いて、量子代数 $A_{N,\hbar,c}$ がその古典的極限 $U(\operatorname{Diff}(\mathbb{C})\otimes\mathfrak{gl}_N)$ の一意的量子化であることを示す。
• ゲージ理論と代数的モデルの両方で、演算子積展開の明示的計算を行い、一致を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 M2-brane/11次元スーパ的热情力系におけるAdS/CFT対応は、コシュール双対性によって実現可能か？
• RQ2 M2-braneとスーパ工程质量力の演算子代数の間のコシュール双対性関係は、摂動的すべての順序で成り立つか？
• RQ3 K個のM2-braneの演算子代数の、大K極限における代数的構造は何か？
• RQ4 この双対性に現れる量子二重ループ代数は、その古典的極限から一意的に量子化可能か？
• RQ5 この双対性は、Calabi-Yau3次元多様体の数え上げ不変量にどのような意味を持つのか？

主な発見

• Ωバックグラウンド下のK個のM2-brane上のスピン角運動量保存演算子の代数が、同じバックグラウンド下の11次元スーパ的热情力の代数と、すべての摂動的順序でコシュール双対であることが示された。
• 大K極限において、M2-braneの演算子代数は、ヤンゲンの二変数一般化である量子二重ループ代数に漸近し、これはスーパ工程质量力代数とコシュール双対である。
• 量子代数 $A_{N,\hbar,c}$ が、その古典的極限 $U(\operatorname{Diff}(\mathbb{C})\otimes\mathfrak{gl}_N)$ の一意的量子化であることが証明された。変形類はコホモロジーにおいて非自明である。
• 量子代数の変形類が非正確であることは、双対な閉じたチェーン要素を提示することで示され、それと非自明にペアリングされる。
• 本稿では、量子二重ループ代数の明示的表現が与えられ、その組み合わせ的構造が5次元ゲージ理論双対における演算子積展開の計算と一致することが確認された。
• この双対性枠組みを通じて、カテゴリフィケーションされたドナルドソン＝トーマス不変量およびCalabi-Yau3次元多様体の数え上げ幾何学への推測的関係が提示された。