[論文レビュー] Cohomological rank functions on abelian varieties

Zhi Jiang, Giuseppe Pareschi|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、アーベル多様体上の$\mathbb{Q}$-ねじれた複体におけるコhomologicalランク関数を導入し、フーリエ＝ムカイ＝ポワンカレ変換の下で変換公式を確立する。主な貢献は、幾何的不変量の解析を可能にする正確な双対性関係であり、GV-部分多様体およびアンビエントラインバンドルの正則切断の積写像の全射性への応用が得られる。

ABSTRACT

Generalizing the continuous rank function of Barja-Pardini-Stoppino, in this paper we consider cohomological rank functions of $\mathbb Q$-twisted (complexes of) coherent sheaves on abelian varieties. They satisfy a natural transformation formula with respect to the Fourier-Mukai-Poincaré transform, which has several consequences. In many concrete geometric contexts these functions provide useful invariants. We illustrate this with two different applications, the first one to GV-subschemes and the second one to multiplication maps of global sections of ample line bundles on abelian varieties.

研究の動機と目的

• バージャ・パルディーナ・ストッピーノの連続ランク関数を、アーベル多様体上の$\mathbb{Q}$-ねじれた複体のコhomologicalランク関数へ一般化すること。
• フーリエ＝ムカイ＝ポワンカレ変換の下で、異なる有理数のねじれにおけるコhomologicalランクを関連付ける変換公式を確立すること。
• 得られた双対性を用いて、GV-部分多様体およびアンミエントラインバンドルの正則切断の積写像の全射性を研究すること。
• コhomologicalランク関数が$\mathbb{R}$に連続に拡張可能であり、有理数点で制御された正則性を示すこと。
• 特に可除極性の場合に、ラインバンドルの正規生成の臨界値$s(\underline{l})$に対する定量的評価を得ること。

提案手法

• 有理数$x \in \mathbb{Q}$に対して、同種$\mu_b$を用いた$\mathcal{F} \otimes L^x$の一般性コホモロジー次元に基づき、コhomologicalランク関数$h^{i}_{\mathcal{F},{\underline{l}}}(x)$を定義する。
• 変換公式（命題2.3）を確立し、$x < 0$および$x > 0$に対して、$h^{i}_{\mathcal{F}}(x{\underline{l}})$をフーリエ＝ムカイ変換$\varphi_{\underline{l}}^*\Phi_{\mathcal{P}}(\mathcal{F})$のコホモロジー次元に関連付ける。
• 変換公式を用いて、各有理数$x_0$の近傍で、$h^{i}_{\mathcal{F},{\underline{l}}}$が次数高々$g$の区分的多項式関数であり、ヒルベルト多項式から明示的な多項式表現が得られることを示す。
• $h^{i}_{\mathcal{F},{\underline{l}}}$が$\mathbb{R}_{\geq 0}$に連続に拡張可能であり、ジャンプ集合$J^{i+}(\mathcal{F}\langle x_0\rangle)$を用いて有理数点における正則性を解析することを証明する。
• 双対性を応用し、$H^0(L^h) \otimes H^0(L^{hab}_\alpha) \to H^0(\mu_b^*L^h \otimes L^{hab}_\alpha)$の積写像の全射性を証明する。$h{\underline{l}}$が基点自由であるとき、$\frac{a}{b} > \frac{1}{h-1}$ならば全射が成り立つ。
• $\beta({\underline{l}})$を正規生成の臨界値として定義し、$h{\underline{l}}$の臨界値に対する公式$s(h{\underline{l}}) = \frac{\beta({\underline{l}})}{h - \beta({\underline{l}})}$を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コhomologicalランク関数はフーリエ＝ムカイ＝ポワンカレ変換の下でどのように振る舞い、それらの変換を支配する双対性関係は何か？
• RQ2 有理数点$\mathbb{Q}$の近傍におけるコhomologicalランク関数の正則性および区分的多項式的構造はどのように特徴づけられるか？
• RQ3 変換公式は、アーベル多様体上のアンミエントラインバンドルの正則切断の積写像の全射性をどのように特定するか？
• RQ4 ラインバンドル$L$の正規生成のための臨界閾値$s({\underline{l}})$の正確な値は何か？
• RQ5 一般またはすべての$\alpha$に対して、積写像$H^0(L^h) \otimes H^0(L^{hab}_\alpha) \to H^0(\mu_b^*L^h \otimes L^{hab}_\alpha)$が全射のままである条件は何か？

主な発見

• コhomologicalランク関数$h^{i}_{\mathcal{F},{\underline{l}}}$は、$\mathbb{R} \to \mathbb{R}_{\geq 0}$への連続関数に拡張可能であり、[BPaSt]で提起された問いを解決する。
• 各$x_0 \in \mathbb{Q}$に対して、$h^{i}_{\mathcal{F},{\underline{l}}}$は左多項式$P^{-}_{i,\mathcal{F},x_0}$と右多項式$P^{+}_{i,\mathcal{F},x_0}$からなる区分的多項式関数であり、次数は高々$g$である。$x_0$で滑らかであるのは、両多項式が一致するときである。
• 変換公式により、$x < 0$に対して$h^{i}_{\mathcal{F}}(x{\underline{l}})$は$h^{i}_{\varphi_{\underline{l}}^*\Phi_{\mathcal{P}}(\mathcal{F})}(-\frac{1}{x}{\underline{l}})$に比例し、係数は$\frac{(-x)^g}{\chi({\underline{l}})}$である。同様に$x > 0$に対しても成り立つ。
• $h \geq 2$で$h{\underline{l}}$が基点自由であるとき、正規生成の臨界値は$s(h{\underline{l}}) = \frac{\beta({\underline{l}})}{h - \beta({\underline{l}})}$を満たす。等号$s(h{\underline{l}}) = \frac{1}{h-1}$が成り立つのは、${\underline{l}}$が基点を持つときのみである。
• $\frac{a}{b} > \frac{1}{h-1}$ならば、すべての$\alpha \in \widehat{A}$に対して積写像$H^0(L^h) \otimes H^0(L^{hab}_\alpha) \to H^0(\mu_b^*L^h \otimes L^{hab}_\alpha)$は全射であり、$\frac{a}{b} \geq \frac{1}{h-1}$ならば一般の$\alpha$に対しても全射である。${\underline{l}}$が基点自由であるとき、臨界値$\frac{a}{b} = \frac{1}{h-1}$でもすべての$\alpha$で全射が成り立つ。
• ${\underline{l}}$が主極性であるとき、臨界写像$H^0(L^h) \otimes H^0(L^{h(h-1)}_\alpha) \to H^0(\mu_{h-1}^*L^h \otimes L^{h(h-1)}_\alpha)$の定義域と値域の次元は両方とも$(h^2(h-1))^g$に等しい。