[論文レビュー] Cohomological representations of parahoric subgroups

Charlotte Chan, Alexander B. Ivanov|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、分岐拡大に対して非分岐な拡大を介して分解する局所体上の再帰的群の超特異的から任意のパラホリック部分群へのルシュティグの表現のコホモロジー的構成を一般化する。トーラスとユニポテンツルーティルに付随するデリーニュ–ルシュティグ型多様体のコホモロジーを通じて仛立表現を定義し、一般性の条件下で既約性を証明し、デリーニュ–ルシュティグのトレース公式を用いて非分岐な非常に正則な要素のキャラクター公式を計算する。

ABSTRACT

We generalize a cohomological construction of representations due to Lusztig from the hyperspecial case to arbitrary parahoric subgroups of a reductive group over a local field, which splits over an unramified extension. We compute the character of these representations on certain very regular elements.

研究の動機と目的

• 再帰的群の局所体上の超特異的から任意のパラホリック部分群へのルシュティグのコホモロジー的表現構成を拡張すること。
• 標数の剰余体上に存在する塔の多様体を定義し、そのコホモロジーがパラホリック部分群 $P(\mathcal{O}_k)$ の表現を実現することを研究すること。
• 非分岐な非常に正則な要素におけるこれらの表現のキャラクターを計算し、古典的なデリーニュ–ルシュティグのキャラクター公式を一般化すること。
• 構成された表現が補助的選択（例えばボレル部分群）に依存しない条件を確立すること。

提案手法

• 再帰的群の特殊ファイバーの再帰的商群 $\mathbb{G}$ における、$g \mapsto g^{-1}\sigma(g)$ というラング写像による $\mathbb{U}$ の逆像であるスキーム $S_{T,U} \subset \mathbb{G}$ を構成する。ここで $P$ はパラホリック群である。
• コホモロジー群の交代和の $\overline{\mathbb{Q}}_\ell$-係数における $\theta$-同型成分として、$P(\mathcal{O}_k)$-仮想表現 $R_{T,U}^\theta$ を定義する。
• 非分岐な非常に正則な要素のトレースを、固定点集合の群作用に還元することで、デリーニュ–ルシュティグの固定点公式を用いて $R_{T,U}^\theta$ 上で計算する。
• $p$-冪部と $p$ と互いに素な部に群の要素を分解することで、トレース公式における寄与を分離し、$\breve{T}_r^\sigma$ の構造を活用する。
• 固定点集合 $S_{T,U}^{(s,\zeta)}$ が空でないのは、$Z^0(g)$ 内の $T$ のウェイル群における $\sigma$-不変な $w$ に対して $\zeta = \mathrm{Ad}(w^{-1})(s^{-1})$ となるときであることを証明する。
• ウェイル群における $\theta$ の安定化部分群が自明である場合、ルシュティグの元来の方法の一般化を用いて $\pm R_{T,U}^\theta$ が $P(\mathcal{O}_k)$ の既約表現であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コホモロジー的構成による表現 $R_{T,U}^\theta$ がボレル部分群 $U$ の選択に依存しない条件は何か？
• RQ2 $R_{T,U}^\theta$ がいつ既約であり、ウェイル群における $\theta$ の安定化部分群の役割は何か？
• RQ3 $R_{T,U}^\theta$ の非分岐な非常に正則な要素におけるキャラクターは明示的に計算可能か？また、ウェイル群作用とどのように関係するか？
• RQ4 非再帰的パラホリック群に対して、デリーニュ–ルシュティグ型多様体 $S_{T,U}$ のコホモロジーが $P(\mathcal{O}_k)$ の表現をどのように実現するか？
• RQ5 $g \in P(\mathcal{O}_k)$ の作用下での固定点集合 $S_{T,U}^{(g,\mathbb{T})}$ の幾何学的および算術的構造は何か？

主な発見

• $\theta$ が十分に一般的であるとき、表現 $R_{T,U}^\theta$ はボレル部分群 $U$ の選択に依存しない。
• 特殊ファイバーのパラホリック群のウェイル群における $\theta$ の安定化部分群が自明であるとき、$\pm R_{T,U}^\theta$ は $P(\mathcal{O}_k)$ の既約表現である。
• 非分岐な非常に正則な要素 $g$ における $R_{T,U}^\theta$ のトレースは、$\operatorname{Tr}(g, R_{T,U}^\theta) = \sum_{w \in W_{\mathbf{x}}(T,Z^\circ(g))^{\sigma}} (\theta \circ \mathrm{Ad}(w^{-1}))(g)$ で与えられる。
• 固定点集合 $S_{T,U}^{(s,\zeta)}$ が空でないのは、$Z^0(g)$ 内の $T$ のウェイル群における一意の $\sigma$-不変な $w$ に対して $\zeta = \mathrm{Ad}(w^{-1})(s^{-1})$ となるときである。
• トレース計算は、$g$ と $\tau$ を $p$-冪部と $p$ と互いに素な部に分解することで行われ、$\breve{T}_r^\sigma$ 上での平均化を介してデリーニュ–ルシュティグのトレース公式を適用可能にする。
• $(t_1, \tau_1)$ の作用は、$\tau_1 = \mathrm{Ad}(w^{-1})(t_1^{-1})$ である場合にのみ非自明に寄与し、その場合にはトレースが $\# \breve{T}_r^\sigma$ に等しくなる。