[論文レビュー] Cohomology and Deformations of left-symmetric Rinehart Algebras

Abdelkader Ben Hassine, Taoufik Chtioui+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2020

Advanced Topics in Algebra参考文献 32被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、左対称代数およびリー＝リネルト代数の一般化として左対称リネルト代数を導入し、そのコホモロジー理論と変形理論を確立する。この研究では、Maurer-Cartan要素が左対称リネルト代数を分類するグレーディング付きリーブラケットを構成し、変形が第二コホモロジー類によって制御されることを示している。さらに、$ϴ$-作用素とニエンハイウス作用素の関係を解明し、可逆写像による合成を通じて、互いに適合する$ϴ$-作用素がニエンハイウス作用素から生じることを証明している。

ABSTRACT

We introduce a notion of left-symmetric Rinehart algebras, which is a generalization of a left-symmetric algebras. The left multiplication gives rise to a representation of the corresponding sub-adjacent Lie-Rinehart algebra. We construct left-symmetric Rinehart algebra from O-operators on Lie-Rinehart algebra. We extensively investigate representations of a left-symmetric Rinehart algebras. Moreover, we study deformations of left-symmetric Rinehart algebras, which is controlled by the second cohomology class in the deformation cohomology. We also give the relationships between O-operators and Nijenhuis operators on left-symmetric Rinehart algebras.

研究の動機と目的

• 左対称代数およびリー＝リネルト代数を一般化する新しい代数的構造、すなわち左対称リネルト代数を導入すること。
• 左対称リネルト代数のためのコホモロジー理論を構築し、その表現を研究すること。
• Maurer-Cartan要素が左対称リネルト代数構造を特徴付けるグレーディング付きリーブラケットを構成すること。
• 第二コホモロジー類によって制御される左対称リネルト代数の変形理論を確立すること。
• この新しい代数的枠組みにおいて、$ϴ$-作用素とニエンハイウス作用素の関係を調査すること。

提案手法

• 左対称代数の一般化として、代数$A$の作用と整合する左対称リネルト代数を定義すること。
• 左乗法の交換子を用いて、関連するリー＝リネルト代数を構成すること。
• 左対称リネルト代数の表現を定義し、コバウンダリー作用素を用いてそのコホモロジーを構築すること。
• 多重導分作用素の空間にグレーディング付きリーブラケットを構成し、そのMaurer-Cartan要素が左対称リネルト代数構造に対応することを示すこと。
• 形式的変形を定義し、第二コホモロジー類が変形の延長における障害を制御することを示すこと。
• ニエンハイウス作用素を導入し、それらが自明な変形を生成することの役割を確立し、可逆写像による合成を通じて$ϴ$-作用素と関連づけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 左対称代数は、可換代数$A$の作用を含めることで、どのように一般化され、新たな代数的クラスが得られるか？
• RQ2 左対称リネルト代数のコホモロジー理論とは何か？ そして、その表現とどのように関係するか？
• RQ3 Maurer-Cartan要素が左対称リネルト代数構造を分類するグレーディング付きリーブラケットを、どのように構成できるか？
• RQ4 第二コホモロジー類は、左対称リネルト代数の変形をどのように制御するか？
• RQ5 左対称リネルト代数の文脈において、$ϴ$-作用素とニエンハイウス作用素はどのように関係しているか？

主な発見

• 左対称リネルト代数における左乗法は、関連する部分のリー＝リネルト代数の表現を導く。
• 左対称リネルト代数は、リー＝リネルト代数上の$ϴ$-作用素を用いた特定の代数的構成によって構成可能である。
• 多重導分作用素の空間にグレーディング付きリーブラケットを構成し、そのMaurer-Cartan要素が左対称リネルト代数構造を正確に特徴付ける。
• 左対称リネルト代数の変形は、変形コホモロジー複体における第二コホモロジー類によって制御される。
• 左対称リネルト代数上のニエンハイウス作用素$N$は、自明な変形を誘導する。また、$T_1$と$T_2$が適合する$ϴ$-作用素で$T_2$が可逆であれば、$N = T_1 mid T_2^{-1}$はニエンハイウス作用素である。
• もし$T$が$ϴ$-作用素で$N$が可逆なニエンハイウス作用素であり、$NT$もまた$ϴ$-作用素であれば、$T$と$NT$は適合する。これにより、二つの概念の直接的な関係が確立される。