[論文レビュー] Cohomology for almost Lie algebroids

Melchior Grützmann, Xiaomeng Xu|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ジャコビ恒等式を緩和するLie代数ダルブロイドの一般化であるalmost Lie代数ダルブロイドのためのコホモロジー理論を、超幾何学からのQ構造を用いて導入する。このコホモロジーはalmost Lie代数では自明であるが、非自明なアンカー写像をもつregularなalmost Lie代数ダルブロイドでは非自明であり、アンカー写像の像であるLie代数ダルブロイドのコホモロジーを計算する。さらに、pre-Courant代数ダルブロイドにおけるDirac構造を通じて、特異的だが積分可能な分布へと拡張される。

ABSTRACT

We give numerous examples of almost Lie algebroids arising as Dirac structures in pre-Courant algebroids, e.g. from twisted Poisson structures, as well as from twisted actions of a Lie algebra. We moreover define a cohomology for them, motivated by a Q-structure, that is trivial for (bundles of) Lie algebras but characterizes the underlying integrable distribution the image of the anchor map.

研究の動機と目的

• ジャコビ恒等式を緩和するLie代数ダルブロイドの一般化であるalmost Lie代数ダルブロイドのためのコホモロジー理論を開発すること。
• コホモロジー的不変量を用いてアンカー写像の像を積分可能な分布として特徴付けること。
• pre-Courant代数ダルブロイドにおけるDirac構造を通じて、特異的だが積分可能な分布へコホモロジー的道具を拡張すること。
• 完全な超多様体形式に依存しない幾何的で非超幾何的（non-supergeometric）なコホモロジーの定式化を提供すること。
• AKSZ形式を用いてコホモロジーと位相的場理論との関係を確立すること。

提案手法

• ジャコビ恒等式を要件としない、歪対称括弧、アンカー写像、Leibniz則を用いてalmost Lie代数ダルブロイドを定義する。
• ジャコビレーター（Jacobiator）を括弧がジャコビ恒等式を満たさない度合いとして定義し、外微分作用素のもとで閉じていることを証明する。
• 超関数上のQ構造を用いてコホモロジー複体を構成し、アクセス性を高めるために滑らかな幾何学に制限する。
• 複体 $ C^ullet(A, ho) $ 上の微分 $ D $ を定義し、アンカー写像および括弧を用いた明示的式を与える。
• regularなalmost Lie代数ダルブロイドに対して、アンカー写像の像のLie代数ダルブロイドコホモロジーをコホモロジーで計算する。
• 接ベクトル束 $ TM $ の場合、コホモロジーがde Rhamコホモロジーと同型であることを示し、Dirac構造を通じてねじれ付きポアンカーレ構造と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジャコビ恒等式を緩和するalmost Lie代数ダルブロイドに対して、アンカー写像の像の積分可能性を捉えるコホモロジー理論を定義できるか？
• RQ2 almost Lie代数ダルブロイドのコホモロジーは、元の分布のLie代数ダルブロイドコホモロジーとどのように関係するか？
• RQ3 ジャコビレーターは、almost Lie代数ダルブロイドのコホモロジー的構造において果たす役割は何か？
• RQ4 Dirac構造を介して、特異的だが積分可能な分布から生じる分布のためのコホモロジーが不変量を定義できるか？
• RQ5 コホモロジーの背後にあるQ構造は、AKSZ形式を用いて位相的場理論を構成可能か？

主な発見

• almost Lie代数ダルブロイドのジャコビレーターは、外微分作用素のもとで閉じており、コホモロジー的枠組みの妥当性が裏付けられる。
• almost Lie代数ではコホモロジーは自明であるが、非自明なアンカー写像をもつalmost Lie代数ダルブロイドでは非自明である。
• 接ベクトル束 $ TM $ の場合、コホモロジーはde Rhamコホモロジーと同型である。
• regularなalmost Lie代数ダルブロイドでは、コホモロジーがアンカー写像の像のLie代数ダルブロイドコホモロジーを計算する。
• 特異的だが積分可能な分布がアンカー写像の像として実現される場合、コホモロジーはその分布のコホモロジーの候補定義を提供する。
• この構成はAKSZ形式と整合的であり、位相的場理論への応用が示唆される。