[論文レビュー] Pre-Courant Algebroids and Associated Lie 2-Algebras

Zhangju Liu, Yunhe Sheng+1 more|arXiv (Cornell University)|May 26, 2012

Advanced Topics in Algebra参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、pre-Courant代数的群のジャコビェーターが、その群にLeibniz 2代数およびLie 2代数構造をもたらすことを確立し、これらが変形に対して安定していることを示している。また、pre-Courant代数的群をCourant代数的群に変形するための障害としてPontryagin類を導入し、Lie代数のねじれ作用を用いて新しい例を構成しており、放物幾何からの例も含む。

ABSTRACT

In this paper, we show that the Jacobiator of a pre-Courant algebroid has some remarkable properties. Thus we can construct both Leibniz 2-algebra and Lie 2-algebra structures associated to a pre-Courant algebroid and prove that these algebraic structures are stable under deformations. The Pontryagin class is also introduced for a pre-Courant algebroid as the obstruction to be deformed into a Courant algebroid. Finally, we introduce the twisted action of a Lie algebra on a manifold to give more examples of pre-Courant algebroids, which include the parabolic geometry.

研究の動機と目的

• pre-Courant代数的群の背後にある代数的構造を調査すること。
• pre-Courant代数的群がCourant代数的群に変形可能であるための条件を特定すること。
• Lie代数のねじれ作用を用いてpre-Courant代数的群の新しいクラスを導入すること。
• 変形によってCourant代数的群に到る障害不変量としてのPontryagin類を定義し、その分析を行うこと。

提案手法

• pre-Courant代数的群のジャコビェーターを分析し、高次代数的構造を抽出すること。
• ジャコビェーターの性質からLeibniz 2代数およびLie 2代数構造を構成すること。
• これらの代数的構造が微小摂動に対して変形不変であることを証明すること。
• pre-Courant代数的群をCourant代数的群に変形するためのコhomological障害としてPontryagin類を導入すること。
• 多様体上のLie代数のねじれ作用を定義し、pre-Courant代数的群の新しい例を生成すること。
• この枠組みを放物幾何に適用し、それが構築された例のクラスに含まれることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 pre-Courant代数的群の代数的構造は、高次Lie代数とどのように関係しているか？
• RQ2 変形に対して誘導されたLie 2代数およびLeibniz 2代数構造が安定するための条件は何か？
• RQ3 pre-Courant代数的群をCourant代数的群に変形するためのコhomological障害は何か？
• RQ4 多様体上のLie代数のねじれ作用は、どのようにpre-Courant代数的群を生成するか？
• RQ5 放物幾何は、この構成の特殊な場合としてどのように現れるか？

主な発見

• pre-Courant代数的群のジャコビェーターは、自然にLeibniz 2代数およびLie 2代数構造を誘導する。
• これらの誘導された代数的構造は、pre-Courant代数的群の微小変形に対して不変である。
• Pontryagin類は、pre-Courant代数的群がCourant代数的群に変形可能でない障害クラスとして同定された。
• Lie代数のねじれ作用は、pre-Courant代数的群を体系的に構成するための方法を提供する。
• 放物幾何は、ねじれ作用を用いて構築されたpre-Courant代数的群のクラス内での自然な幾何的実現であることが示された。