[論文レビュー] Cohomology of the second Voronoi compactification of A_4

Klaus Hulek, Orsola Tommasi|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、主偏極付アーベル4倍体のモジュライ空間の2番目のボロノイ型およびパフォクトーン型コンパクト化 $\mathcal{A}_4^{\mathrm{Vor}}$ と $\mathcal{A}_4^{\mathrm{perf}}$ の、次数9以下のベッチ数を計算する。ただし、2番目のボロノイ型コンパクト化の中央ベッチ数 $b_{10}$ を除く。スペクトル系列と、一定のトーラスランクを持つ半アーベル的多様体によるコンパクト化の層化に基づき、局所系統と重みフィルトレーションの分析を通じて、コホモロジー構造を同定し、$\mathcal{A}_4$ のオイラー特徴標数との重要な関係を確立する。

ABSTRACT

In this paper we compute the cohomology groups of the second Voronoi compactification of the moduli space of abelian fourfolds in all degrees with the exception of the middle degree 10. We also compute the cohomology groups of the perfect cone compactification in degree < 10. The main tool is the investigation of the strata of the compactification corresponding to semi-abelic varieties with constant torus rank.

研究の動機と目的

• 次数 $\leq 9$ における $\mathcal{A}_4$ の2番目のボロノイ型およびパフォクトーン型コンパクト化のベッチ数を計算すること。
• 中央ベッチ数 $b_{10}$ まで、$\mathcal{A}_4^{\mathrm{Vor}}$ のコホモロジーを特定し、問題を $\mathcal{A}_4$ のオイラー特徴標数の計算に還元すること。
• 一定のトーラスランクを持つ半アーベル的多様体の層のコホモロジーを、局所系統とスペクトル系列を用いて分析すること。
• $\mathcal{A}_4^{\mathrm{Vor}}$ のコホモロジーと $\mathcal{A}_4$ のオイラー特徴標数との関係を確立すること。これは現在未解決の問題である。

提案手法

• 著者たちは、トーラスランクによる層化に基づき、2番目のボロノイ型コンパクト化 $\mathcal{A}_4^{\mathrm{Vor}}$ のコホモロジーに収束するスペクトル系列を用いる。
• 特に境界成分とその寄与を注目し、一定のトーラスランクを持つ半アーベル的多様体に対応する層のコホモロジーを分析する。
• $\mathcal{A}_g$ 上の局所系統 $\mathbb{V}_{\lambda}$ を用いて、コンパクトなコホモロジーを計算し、特に $\mathbb{V}_{1,1,0}$ と $\mathbb{V}_{2,2}$ を用いる。
• グローテンディーク群の技術とオイラー特徴標数の加法性を用いて、コホモロジー群上の重みフィルトレーションを分析する。
• 閉部分入射 $\mathcal{A}_3^{\mathrm{red}} \subset \mathcal{A}_3$ などの Gysin 長完全系列を適用し、層のコホモロジーを関連付ける。
• ポincare双対性と Raghunathan の剛性定理を用いて、特に低次元および高次元における非自明なコホモロジー次数を制限する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次数 $\leq 9$ における2番目のボロノイ型コンパクト化 $\mathcal{A}_4^{\mathrm{Vor}}$ のベッチ数は何か。ただし $b_{10}$ を除く。
• RQ2 $\mathcal{A}_4^{\mathrm{perf}}$ のコホモロジーは、$\mathcal{A}_4^{\mathrm{Vor}}$ のそれとどのように異なるか。特に低次元において。
• RQ3 一定のトーラスランクを持つ半アーベル的多様体の層が、$\mathcal{A}_4^{\mathrm{Vor}}$ の全コホモロジーに果たす寄与は何か。
• RQ4 $\mathcal{A}_3$ や $\mathcal{A}_2$ 上の局所系統 $\mathbb{V}_{1,1,0}$ や $\mathbb{V}_{2,2}$ のコホモロジーを用いて、$\mathcal{A}_4^{\mathrm{Vor}}$ のコホモロジーを特定できるか。
• RQ5 $\mathcal{A}_4$ のオイラー特徴標数は、$\mathcal{A}_4^{\mathrm{Vor}}$ の未知の中央ベッチ数 $b_{10}$ とどのように関係しているか。

主な発見

• $\mathcal{A}_4^{\mathrm{perf}}$ のすべての次数 $\leq 9$ におけるベッチ数は、例外なく完全に決定されている。
• $\mathcal{A}_4^{\mathrm{Vor}}$ のすべての次数 $\leq 9$ におけるベッチ数は、中央ベッチ数 $b_{10}$ を除き計算済みであり、$b_{10}$ は未解決のままである。
• $\mathcal{A}_3$ における $\mathbb{V}_{1,1,0}$ と係数をとったコンパクトコホモロジーは、次数5, 8, 9でのみ非自明であり、$H_c^5(\mathcal{A}_3; \mathbb{V}_{1,1,0}) = \mathbb{Q}(-1)$ かつ $H_c^8(\mathcal{A}_3; \mathbb{V}_{1,1,0}) \cong H_c^9(\mathcal{A}_3; \mathbb{V}_{1,1,0}) = \mathbb{Q}(-4)^{\oplus \epsilon}$（$\epsilon \in \{0,1\}$）である。
• $\mathcal{A}_2$ における $\mathbb{V}_{2,2}$ と係数をとったコンパクトコホモロジーは、次数3と4でのみ非自明であり、これらの群の重みフィルトレーションの各層は同型である。
• $\mathcal{A}_2$ における $\mathbb{V}_{2,2}$ と係数をとったコホモロジーは、3と4を除くすべての次数で消える。また、Hodge構造のグローテンディーク群におけるオイラー特徴標数は0である。
• $\mathcal{A}_4^{\mathrm{Vor}}$ のコホモロジーの計算は、$\mathcal{A}_4$ のオイラー特徴標数の決定に帰着されるが、これは $\mathrm{Sp}(8,\mathbb{Z})$ のねじれ元の完全分類が得られていないため、現在は到達不可能である。