[論文レビュー] Coleman-Gross height pairings and the $p$-adic sigma function

Jennifer S. Balakrishnan, Amnon Besser|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、非離散的である divisor に対して接ベクトルを用いて Coleman-Gross の $p$-adic 高さ対を拡張することにより、楕円曲線上の Mazur-Tate および Coleman-Gross の $p$-adic 高さ対の直接的な関係を確立する。標準的な接ベクトル（不変微分から得られる）を用いて計算された $p$-adic 局所高さが、$p$-adic シグマ関数の対数に一致することを示し、2つの $p$-adic 高さの構成を統一する。この結果により、Kim の整数点定理の新たな簡略化された証明が得られ、接点からの二重 Coleman 積分の公式も導かれる。

ABSTRACT

We give a direct proof that the Mazur-Tate and Coleman-Gross heights on elliptic curves coincide. The main ingredient is to extend the Coleman-Gross height to the case of divisors with non-disjoint support and, doing some $p$-adic analysis, show that, in particular, its component above $p$ gives, in the special case of an ordinary elliptic curve, the $p$-adic sigma function. We use this result to give a short proof of a theorem of Kim characterizing integral points on elliptic curves in some cases under weaker assumptions. As a further application, we give new formulas to compute double Coleman integrals from tangential basepoints.

研究の動機と目的

• 楕円曲線上の Mazur-Tate および Coleman-Gross の $p$-adic 高さ対の直接的比較を確立すること。
• 共通点における接ベクトルを割り当てることで、非離散的である divisor に対しても Coleman-Gross 高さ対を拡張すること。
• 不変微分から得られる標準的接ベクトルを選んだときの $p$-adic 局所高さが、$p$-adic シグマ関数の対数に一致することを示すこと。
• この同定を用いて、Kim の楕円曲線上の整数点に関する定理の短い証明を与え、Tate-Shafarevich 群の $p$-部の有限性の仮定を不要にする。
• 拡張された高さ対枠組みと $p$-adic シグマ関数を用いて、接点からの二重 Coleman 積分を計算するための新しい公式を導出すること。

提案手法

• 共通点における接ベクトルを割り当てることで、非離散的である divisor に対しても Coleman-Gross 高さ対を拡張し、局所項の和がベクトルの選び方に依存しないことを保証する。
• $p$-adic Arakelov 理論を用いて、特に楕円曲線に対して接バンドル上の局所高さ関数を分析する。
• 楕円曲線上の標準的不変微分を用いて自然な接ベクトルの選び方を定義し、well-defined な局所高さ関数を導く。
• 通常の楕円曲線に対して、得られた局所高さ関数が本質的に $p$-adic シグマ関数の対数であることを証明する。
• この同定を用いて、局所 $p$-adic 項の直接比較により、Mazur-Tate と Coleman-Gross 高さ対が一致することを示す。
• 拡張された対を用いて、$p$-adic シグマ関数と組み合わせ、接点からの二重 Coleman 積分の明示的公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 接ベクトルを用いて非離散的である divisor に拡張された Coleman-Gross 高さ対は、Mazur-Tate の構成と同一のグローバル対を与えるか？
• RQ2 不変微分から得られる標準的接ベクトルを用いて計算された楕円曲線上の $p$-adic 局所高さは、$p$-adic シグマ関数の対数に等しいか？
• RQ3 Mazur-Tate と Coleman-Gross 高さ対の等価性は、グローバルな議論に依存せず、局所 $p$-adic 項の比較によって証明可能か？
• RQ4 局所高さと $p$-adic シグマ関数の同定を用いて、Kim の整数点定理の証明を簡略化できるか？
• RQ5 接点からの二重 Coleman 積分の明示的公式は何か？ そして、拡張された高さ対枠組みを用いてどのように計算できるか？

主な発見

• 通常の楕円曲線上の $p$-adic 局所高さは、不変微分から得られる接ベクトルを用いて計算した場合、$p$-adic シグマ関数の対数に等しい。
• 接ベクトルを用いて非離散的である divisor に拡張された Coleman-Gross 高さ対は、対称的かつベクトルの選び方に依存せず、古典的対の一般化である。
• Mazur-Tate と Coleman-Gross 高さ対はグローバルに一致し、今や局所 $p$-adic 項の直接比較によって証明された。
• 局所高さと $p$-adic シグマ関数の同定により、Tate-Shafarevich 群の $p$-部の有限性の仮定を外した、Kim の整数点定理の新たな短い証明が得られた。
• 接点からの二重 Coleman 積分の新しい公式が、拡張された高さ対枠組みと $p$-adic シグマ関数を用いて導出された。
• 数値例により公式の整合性が確認され、$7$-adic 展開における積分の具体例や、楕円曲線上の $3$-torsion 点の座標が明示された。