[論文レビュー] Coloured Koszul duality and strongly homotopy operads

P. van der Laan|ArXiv.org|Dec 7, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 30

ひとこと要約

この論文は、色付きコーサル・ドレーディティを用いて、ホモトピー的不変性を持つオペラッドの一般化として強いホモトピー的オペラッドを導入し、ホモトピー同値を通じて代数的構造の準同型的転送を可能にする。また、単位円板内の点の配置空間上の特異的 $\mathbb{Q}$-チェイン複体が、リトル・ディスク・オペラッドと準同型的である強いホモトピー的オペラッドをなすことを証明し、オペラッド的ホモトピー理論における主要なホモトピー的障害を解消する。

ABSTRACT

This paper proves Koszul duality for coloured operads and uses it to introduce strongly homotopy operads as a suitable homotopy invariant version of operads. It shows that rational chains on configuration spaces of points in the plane form a strongly homotopy operad quasi isomorphic to the chains on the little disks operad.

研究の動機と目的

• 古典的オペラッド理論における制限を解消すること：準同型的であるオペラッド同士が、両方向に準同型写像をもたないことがあること。
• dgベクトル空間間のホモトピー同値を通じて、強いホモトピー的代数的構造をホモトピー的不変な枠組みで転送するためのフレームワークを提供すること。
• 単位円板内の点の配置空間上の特異的 $\mathbb{Q}$-チェイン複体が、リトル・ディスク・オペラッドと準同型的である強いホモトピー的オペラッドをなすことの確立。
• コーサル・ドレーディティを色付きオペラッドへ拡張し、非対称擬オペラッドの $\mathbb{N}$-色付きオペラッドに適用することで、オペラッドの構造的ホモトピー的モデルを明確にすること。

提案手法

• 非対称擬オペラッドの代数的構造をもつ $\mathbb{N}$-色付きオペラッド $\mathrm{PsOpd}$ を用いて、色付きオペラッドへのコーサル・ドレーディティの拡張を行う。
• 強いつながりのないホモトピー的オペラッドを、$\mathrm{PsOpd}$ 上の等変ホモトピー代数として定義し、構造をコfreeな擬コオペラッド $T'_{\mathbb{N}}(P[-1])$ 上の微分に符号化する。
• 包含写像 $i: F(n) \to D_2(n)$ と再帰写像 $r: D_2(n) \to F(n)$ を用いて、$S_*(F)$ と $S_*(D_2)$ 間の明示的なチェインホモトピー同値を構成する。ここで $r \circ i = \mathrm{id}$ かつ $\mathrm{id} \sim i \circ r$ が成り立つ。
• A_\infty-代数のホモトピー転送定理を用い、$\mathrm{End}_{S_*(D_2)} \leadsto \mathrm{End}_{S_*(F)}$ の準同型写像を誘導し、これを強いホモトピー的オペラッドの準同型写像に引き上げる。
• 理論を適用して、配置空間上の特異的 $\mathbb{Q}$-チェイン複体が、リトル・ディスク・オペラッドと準同型的である強いホモトピー的オペラッドをなすことの証明を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 準同型的であるオペラッド同士が、両方向に準同型写像をもつような、ホモトピー的不変なオペラッドの構成は可能か？
• RQ2 dgベクトル空間間のホモトピー同値を通じて、強いホモトピー的代数的構造を1つの空間からもう1つの空間へ転送できるか？
• RQ3 単位円板内の点の配置空間上の特異的 $\mathbb{Q}$-チェイン複体は、リトル・ディスク・オペラッドと準同型的であるホモトピー的不変のオペラッドをなすか？
• RQ4 コーサル・ドレーディティを色付きオペラッドへ拡張し、構造的な方法で強いホモトピー的構造をモデル化できるか？

主な発見

• 任意の強いホモトピー的オペラッドの準同型写像は、準逆写像をもつ。これにより、増分オペラッドにおいて準同型写像が対称的関係となることが保証される。
• dgベクトル空間 $V$ と $W$ 間のホモトピー同値が与えられたとき、明示的な強いホモトピー的オペラッドの準同型写像 $\mathrm{End}_W \leadsto \mathrm{End}_V$ が存在し、これにより強いホモトピー的 $P$-代数的構造を転送できる。
• 配置空間 $F(n)$ 上の特異的 $\mathbb{Q}$-チェイン複体は、強いホモトピー的オペラッドをなす。構造は $F(n)$ と $D_2(n)$ 間の $S_n$-等変ホモトピーによって誘導される。
• 包含写像 $i: F(n) \to D_2(n)$ と再帰写像 $r: D_2(n) \to F(n)$ は $r \circ i = \mathrm{id}$ かつ $\mathrm{id} \sim i \circ r$ を満たし、これによりチェインホモトピーが誘導され、オペラッドの準同型写像が得られる。
• 結果として得られる $S_*(F)$ 上の強いホモトピー的オペラッド構造は等変的であり、$\mathbb{N}$-色付きオペラッド $\mathrm{PsOpd}$ のホモトピー代数としての性質を持つ。したがって、ホモトピーの意味でリトル・ディスク・オペラッドの有効なモデルである。