[論文レビュー] Combinatorics and topology of straightening maps I: compactness and bijectivity

Hiroyuki Inou, Jan Kiwi|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$d \geq 3$ 次の複素多項式のパラメータ空間におけるストレートナイング写像を導入し、研究する。これは、Douady と Hubbard の二次多項式に関する結果を一般化したものである。本稿では、これらの写像の単射性を証明し、そのコンパクトな定義域を特徴づけ、2 種類の全単射ストレートナイング写像を確立する。1 つは、$(d-1)$ 重のマンデルブロ集合の積を連結性領域へ埋め込むものであり、もう 1 つは、二次のフル・ジュリア集合の族を、3 次の連結性領域へクアイサイコンフォーマルに埋め込むものである。

ABSTRACT

We study the parameter space structure of degree $d \ge 3$ one complex variable polynomials as dynamical systems acting on $\C$. We introduce and study {\it straightening maps}. These maps are a natural higher degree generalization of the ones introduced by Douady and Hubbard to prove the existence of small copies of the Mandelbrot set inside itself. We establish that straightening maps are always injective and that their image contains all the corresponding hyperbolic systems. Also, we characterize straightening maps with compact domain. Moreover, we give two classes of bijective straightening maps. The first produces an infinite collection of embedded copies of the $(d-1)$-fold product of the Mandelbrot set in the connectedness locus of degree $d \ge 3$. The second produces an infinite collection of full families of quadratic connected filled Julia sets in the cubic connectedness locus, such that each filled Julia set is quasiconformally embedded.

研究の動機と目的

• 2 次多項式力学における Douady と Hubbard のストレートナイング写像を、$d \geq 3$ の高次多項式力学へ一般化すること。
• 単変多項式中心多項式のパラメータ空間において、構造的で明確な定義域と終域を持つストレートナイング写像を定義し、それらを研究すること。
• ストレートナイング写像の定義域がコンパクトとなる条件を特徴づけ、全単射性のための条件を確立すること。
• マンデルブロ集合の積と、二次のフル・ジュリア集合の族を、3 次多項式の連結性領域へ明示的な埋め込みを構成すること。
• これらの埋め込みがクアイサイコンフォーマルであることを証明し、ホロモーフィック・モーションのもとで力学的構造を保存することを確認すること。

提案手法

• 後期的臨界有限な多項式 $f_0$ から導かれる縮約された写像スキーマ $T$ に関連する普遍的多項式モデル空間 $\operatorname{Poly}(T)$ を定義する。
• ストレートナイング写像の終域として、ファイバーごとの連結性領域 $\mathcal{C}(T)$ を構成する。
• 多項式 $f_0$ の有理ラミネーション $\lambda_0$ を用いて、ストレートナイング写像の定義域 $\mathcal{R}(\lambda_0) \subset \mathcal{C}(d)$ を定義する。
• ホロモーフィック・モーション技術と $\lambda$-補題を用いて、パラメータ族全体にわたるクアイサイコンフォーマル構造を拡張する。
• ハイブリッドクラスの安定性と、多項式的写像における等角同型写像の性質を活用し、ストレートナイング写像のクアイサイコンフォーマル拡張を証明する。
• マンデルブロ集合の連結性とパラメータ写像の連続性を用いた位相的議論により、局所的非可約性と大域的単射性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次数 $d \geq 3$ の多項式の連結性領域からのストレートナイング写像が、どのような条件下で単射となるか？
• RQ2 ストレートナイング写像の定義域がコンパクトとなるのはいつか？
• RQ3 マンデルブロ集合の積を高次多項式の連結性領域へ埋め込むことができる全単射ストレートナイング写像を構成できるか？
• RQ4 全族の二次フル・ジュリア集合を、ストレートナイング写像を用いて、3 次の連結性領域へクアイサイコンフォーマルに埋め込むことができるか？
• RQ5 ストレートナイング写像の像が、すべての対応する双曲的系を含むために必要な位相的および力学的性質は何か？

主な発見

• ストレートナイング写像は常に単射であり、Douady と Hubbard の二次多項式に関する単射性結果が高次多項式へ一般化される。
• ストレートナイング写像の定義域がコンパクトであるための必要十分条件は、関連する縮約された写像スキーマが原始的で互いに交差しないタイプであることである。
• マンデルブロ集合の $(d-1)$ 重積を、$d \geq 3$ 次の多項式の連結性領域へ埋め込む無限族の全単射ストレートナイング写像が存在する。
• もう一つの無限族の全単射ストレートナイング写像が、二次のフル・ジュリア集合の族をクアイサイコンフォーマルに 3 次の連結性領域へ埋め込む。
• ストレートナイング写像は、パラメータ空間の 1 次元複素解析的部分空間へクアイサイコンフォーマルに拡張可能であり、これによりファイバーの局所的非可約性が保証される。
• ストレートナイング写像の像は、対応するパラメータ空間内のすべての双曲的成分を含み、双曲的成分への上への性質が確認される。