[論文レビュー] Commensurating HNN-extensions: hierarchical hyperbolicity and biautomaticity

Sam Hughes, Motiejus Valiunas|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2022

Geometric and Algebraic Topology参考文献 45被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{RH}^2 \times \mathcal{T}_{24}$ 上で作用する算術的表面群の共役を保つHNN拡大を用いて、双自己的でない最初の階層的超曲面群（HHG）の例を構成する。この群は$\mathrm{CAT}(0)$、ねじれなし、一様的、かつ非可約的であり、仮想的な双自己的構造における移動長関数の有理性の失敗と測地的カレントを用いて、双自己的ではないことを証明する。

ABSTRACT

We construct a CAT(0) hierarchically hyperbolic group (HHG) acting geometrically on the product of a hyperbolic plane and a locally-finite tree which is not biautomatic. This gives the first example of an HHG which is not biautomatic, the first example of a non-biautomatic CAT(0) group of flat-rank 2, and the first example of an HHG which is injective but not Helly. Our proofs heavily utilise the space of geodesic currents for a hyperbolic surface.

研究の動機と目的

• 階層的超曲面群（HHG）はすべて双自己的であるかという未解決問題を解消すること。
• 平坦ランク2の$\mathrm{CAT}(0)$群で双自己的でない最初の例を構成すること。
• 単射的だがヘリカルでないHHG、および非有限的余因子を持つHHGの最初の例を提供すること。
• 境界解析に依存しない、測地的カレントに基づく双自己的ではない性質を示すための新規な手法を開発すること。
• HHGにおける双自己的ではない性質が、Leary–Minasyan群のような既知の構成に還元できないことを示すこと。

提案手法

• 算術的表面群のHNN拡大として、$\mathrm{PSL}_2(\mathbb{R}) \times T_{24}$ 内の一様的非可約格子 $\Gamma$ を構成する。ここで安定文字は表面群を共役を保ち、$\mathbb{RH}^2$ 上で無限大の位数の楕円的等長変換として作用する。
• $\Gamma$ が $\mathbb{RH}^2 \times \mathcal{T}_{24}$ 上に等長作用することを用いて、$\Gamma$ が$\mathrm{CAT}(0)$ であり、自由かつコンパクトに作用することを示す。
• [Hug22a, 系3.3] を適用して、$\Gamma$ が階層的超曲面群（HHG）であることを結論づける。
• 仮想的に有界一対一の双自己的構造 $(B, \mathcal{M})$ を $\Gamma$ に仮定し、擬凸性と制限を用いて表面部分群 $\widehat{G} \cong \pi_1(\Sigma)$ に双自己的構造 $(A, \mathcal{L})$ を導出する。
• $\mathcal{C}^+(\Sigma)$ 上に移動長関数 $\tau_{\mathcal{L}}$ を定義し、測地的カレント空間 $\mathcal{G}^+(\Sigma)$ を通して因数分解され、正の線形性および斉次性を示す。
• Martínez-GranadoとThurstonの結果を用いて、関数を測地的カレントに拡張し、$\tau_{\mathcal{L}} = k \cdot \iota(-, \lambda_\Sigma)$ が成り立つことを示す。ここで $\iota$ は交差数を表す。これにより、$\tau_{\mathcal{L}}(\gamma_a)/\tau_{\mathcal{L}}(\gamma_c)$ の無理数性によって矛盾が生じる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての階層的超曲面群（HHG）は双自己的か？
• RQ2 平坦ランク2の$\mathrm{CAT}(0)$群が双自己的でないことはあり得るか？
• RQ3 Leary–Minasyan群から作られるか、それらを含むことなく、双自己的でないHHGが存在するか？
• RQ4 双自己的ではない性質は、測地的カレントと交差数を用いて検出可能か？
• RQ5 単射的だがヘリカルでない、または非有限的余因子を持つ$\mathrm{CAT}(0)$群がHHGであることはあり得るか？

主な発見

• 本稿は、双自己的でない階層的超曲面群（HHG）の最初の既知の例を構成し、分野における未解決問題に答えを提示する。
• 構成された群 $\Gamma$ は、$\mathrm{PSL}_2(\mathbb{R}) \times T_{24}$ 内の非可約一様格子として作用し、$\mathbb{RH}^2 \times \mathcal{T}_{24}$ 上で自由かつコンパクトに作用するため、$\mathrm{CAT}(0)$ である。
• 群 $\Gamma$ は平坦ランク2をもち、平坦ランク2の$\mathrm{CAT}(0)$群で双自己的でない最初の例を提供する。
• 双自己的ではない性質は、矛盾による証明で示される。仮想的な双自己的構造から導かれる移動長関数 $\tau_{\mathcal{L}}$ は、交差数 $\iota(-, \lambda_\Sigma)$ の有理数倍でなければならないが、比 $\tau_{\mathcal{L}}(\gamma_a)/\tau_{\mathcal{L}}(\gamma_c)$ は無理数である。
• $\Gamma$ は単射的だがヘリカルでないため、この性質を持つHHGの最初の例を提供する。
• この結果は、以下のいずれかが偽であることを示唆する：(1) すべてのHHGは自動的である、または (2) すべての自動的群は双自己的である。