[論文レビュー] Comment on 'Lie symmetry analysis of the Lundgren-Monin-Novikov equations for multi-point probability density functions of turbulent flow'

Michael Frewer, George Khujadze+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2017

Climate variability and models参考文献 35被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ラングラン＝モーリン＝ノヴィコフ（LMN）方程式のリー対称性解析を批判し、Wacławczyk らが新たに提案した二つの対称性（X* および X**）が、分離制約と因果律の原則を破るため、物理的に不適切であることを示している。著者らは、これらの対称性が無限距離での統計的独立性を保存せず、因果的に正当化できないことを証明し、これにより、乱流の間歇的性をモデル化するのに無効であると結論づけている。

ABSTRACT

The recent study by Waclawczyk et al. [J. Phys. A: Math. Theor. 50, 175501 (2017)] possesses three shortcomings: (i) The analysis misses a key aspect of the LMN equations which makes their Lie-group symmetry results incomplete. In particular, two essential symmetries will break when including this aspect. (ii) The statements on the constraints regarding the infinite-dimensional symmetry groups are misleading. (iii) The particular symmetries originating solely from the linearity of the LMN hierarchy violate the classical principle of cause and effect and therefore are unphysical. Within this Comment we present a detailed proof to this claim and conclude with the note that the new study by Waclawczyk et al. gives an unrealistic outlook on deriving invariant symmetry solutions for velocity correlations that arise from intermittent processes.

研究の動機と目的

• Wacławczyk らが LMN方程式の解析において提案した二つの新しいリー対称性（X* および X**）の妥当性に疑問を呈すること。
• これらの対称性が、乱流における多点同時確率密度関数（PDF）に必須な分離制約を破ることを示すこと。
• LMN階層の線形性に基づいて単に導かれた対称性は、因果律の原則に反するため物理的に不適切であると主張すること。
• 対称性解析において内部制約（特に Ievlev 制約および分離制約）が欠落していることにより、結果が不完全かつ誤りであることを示すこと。
• 微視的（瞬時の）および粗粒度化（統計的）レベル間の因果的一致性が、乱流の物理的に意味のある統計理論にとって不可欠であることを強調すること。

提案手法

• X* および X** の無限小生成子から、それらの有限変換形を導出し、定常背景場 b_n^0 に明示的に依存することを示している。
• 分離制約（|x1−x2|→∞ のとき f2 → f1·f1）にこれらの対称性変換を適用し、変換後のPDFが統計的独立性を保存しないことを証明している。
• 式 (1.5) および (1.6) の変換された極限の関数的構造を分析し、b_n^0 のいかなる選択に対しても、不変形 (1.4) に簡約できないことを示している。
• 因果律の原則を用いて、粗粒度化統計場（f_n*）に生じる変化は、微視的レベル（瞬時の場 U）にその原因が存在しなければならないと主張し、これらの対称性ではそのような原因を構築できないことを示している。
• 高次速度モーメント（n>2）の非線形性に着目し、線形対称性仮定と矛盾することから、これらの対称性が真の力学と整合しないことを示している。
• 物理的因果性と統計的対称性の振る舞いを比較し、微視的レベルで保存されない対称性は、統計的解に対して有効ではないことを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Wacławczyk らが提案した対称性 X* および X** は、多点同時PDFに必須な分離制約を満たしているか？
• RQ2 これらの対称性は、瞬時の（微視的）レベルに相当する原因が存在しないにもかかわらず、粗粒度化統計場に変化をもたらすため、因果的に正当化可能か？
• RQ3 なぜ X* および X** の対称性は、LMN階層における高次速度モーメントの非線形構造と不一致するのか？
• RQ4 Ievlev 制約および分離制約を含む内部制約が欠落しているため、Wacławczyk らの対称性解析が不完全となる理由は何か？
• RQ5 乱流理論において、因果性が物理的に妥当な統計的対称性と物理的に不適切な対称性を区別する役割を果たすのはどのようなものか？

主な発見

• 対称性 X*（式 [47]）は分離制約を破る。変換により不変でない極限が得られる：lim_{|x1−x2|→∞} f2* ≠ f1*(2*)·f1*(1*)
• 対称性 X**（式 [48]）も同様に分離制約を満たさず、b_n^0 のいかなる選択に対しても、不変形に簡約できない変換極限を生じる。
• X* および X** における変換されたPDFの関数的構造には、b_n^0 に依存する余分な項が含まれ、これらは削除できないため、物理的対称性ではないことを証明している。
• 両対称性は因果律の原則に反する。粗粒度化統計場（f_n*）に変化をもたらすが、それに応じる、微視的レベル（瞬時の速度場 U）での構築可能な原因が存在しない。
• これらの対称性は、LMN階層の線形性に起因するだけであり、乱流速度モーメントの真の非線形力学を反映していないため、物理的に不適切である。
• 因果的一致性と制約の保存が欠落しているため、これらの対称性が間歇的乱流の不変解を生成できるという主張は無効である。