[論文レビュー] Communication complexity of promise problems and their applications to finite automata

Jozef Gruska, Daowen Qiu+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、特定のプロミス版離別問題について、古典的決定的通信複雑性と量子通信複雑性の間で指数的ギャップを確立し、量子有限オートマトンが特定のプロミス問題を古典的有限オートマトンよりも指数的に少ない状態数で解くことができることを示している。通信複雑性の手法を用いて、著者らは、決定的ワンウェイ有限オートマトンが指数的多くの状態を必要とする一方で、ワンウェイ量子有限オートマトンは多項式的状態複雑性で同じ問題を解くことができることを証明している。

ABSTRACT

Equality and disjointness are two of the most studied problems in communication complexity. They have been studied for both classical and also quantum communication and for various models and modes of communication. Buhrman et al. [Buh98] proved that the exact quantum communication complexity for a promise version of the equality problem is ${\bf O}(\log {n})$ while the classical deterministic communication complexity is $n+1$ for two-way communication, which was the first impressively large (exponential) gap between quantum and classical (deterministic and probabilistic) communication complexity. If an error is tolerated, both quantum and probabilistic communication complexities for equality are ${\bf O}(\log {n})$. However, even if an error is tolerated, the gaps between quantum (probabilistic) and deterministic complexity are not larger than quadratic for the disjointness problem. It is therefore interesting to ask whether there are some promise versions of the disjointness problem for which bigger gaps can be shown. We give a positive answer to such a question. Namely, we prove that there exists an exponential gap between quantum (even probabilistic) communication complexity and classical deterministic communication complexity of some specific versions of the disjointness problem. Klauck [Kla00] proved, for any language, that the state complexity of exact quantum/classical finite automata, which is a general model of one-way quantum finite automata, is not less than the state complexity of an equivalent one-way deterministic finite automata (1DFA). In this paper we show, using a communication complexity result, that situation may be different for some promise problems. Namely, we show for certain promise problem that the gap between the state complexity of exact one-way quantum finite automata and 1DFA can be exponential.

研究の動機と目的

• プロミス版の離別問題が、これまでに知られているよりも量子モデルと古典モデルの間で通信複雑性のギャップをより大きく示すかどうかを調査すること。
• そのようなギャップが、特に古典的モデルと量子モデルを比較した場合に、有限オートマトンの状態複雑性に与える影響を調査すること。
• 量子有限オートマトンが特定のプロミス問題を、古典的有限オートマトンよりも著しく少ない状態数で解くことができることを示すこと。
• 通信複雑性の結果とワンウェイ量子有限オートマトン（1QCFA）の状態複雑性との間の関係を確立すること。

提案手法

• 入力が互いに素（$\sum x_i \wedge y_i = 0$）であるか、大きな共通部分集合を持つ（$\lambda n \leq \sum x_i \wedge y_i \leq (1-\lambda)n$）という条件を満たすプロミス問題 $\text{DISJ}_{\lambda}^\prime$ を定義し、$\lambda = \frac{1}{4}$ とする。
• 振幅増幅と位相推定技術を活用する量子プロトコルを用いて、$\text{DISJ}_{\lambda}^\prime$ の量子通信複雑性が $O(\log n)$ であることを証明する。
• フェイリングセットの議論や同様の組合せ的技法を用いて、$\text{DISJ}_{\lambda}^\prime$ の決定的通信複雑性に対して $\Omega(n)$ の下界を確立する。
• $2n$ 個の量子基本状態と $O(n)$ 個の古典的状態を持つワンウェイ量子有限オートマトン（MO-1QCFA）を構築し、プロミス問題 $A_D(n)$ を片側誤差 $\frac{1}{4}$ で解く。
• オートマトンの挙動をもとに通信プロトコルを導出する：アリスは $x\#$ を読み終わった後の状態を送信し、ボブは $x\#y\#$ を読み終えた後の状態を送信し、アリスは再び $x$ を読み終わった後に受容を確認する。
• 決定的通信複雑性との関係を用いて、同じ問題を解く任意の 1DFA のサイズに対する下界を導出する。これにより、$N \in 2^{\Omega(n)}$ であることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 プロミス版の離別問題は、量子モデルと古典モデルの間で、二次方程式を上回る通信複雑性のギャップを示すことができるか？
• RQ2 量子通信複雑性が対数的である一方で、古典的決定的通信複雑性が線形であるようなプロミス問題が存在するか？
• RQ3 量子有限オートマトンは、プロミス問題において、古典的有限オートマトンよりも指数的状態複雑性の優位性を達成できるか？
• RQ4 プロミス問題の通信複雑性とワンウェイ量子有限オートマトンの状態複雑性との間にはどのような関係があるか？
• RQ5 通信複雑性に指数的ギャップが存在することは、有限オートマトンの状態複雑性に対しても指数的ギャップを示唆するか？

主な発見

• $\lambda = \frac{1}{4}$ の場合、$\text{DISJ}_{\lambda}^\prime$ の量子通信複雑性は最大で $3 + 2\log n$ であり、これは $O(\log n)$ である。
• $\text{DISJ}_{\lambda}^\prime$ の決定的通信複雑性は $\Omega(n)$ であり、下界は $0.0073n - 1$ である。
• MO-1QCFA は $2n$ 個の量子基本状態と $O(n)$ 個の古典的状態を用いて、プロミス問題 $A_D(n)$ を片側誤差 $\frac{1}{4}$ で解くことができる。
• 同じプロミス問題 $A_D(n)$ を解くために必要な任意の 1DFA は、少なくとも $2^{\Omega(n)}$ 個の状態を必要とし、指数的状態複雑性のギャップが示された。
• 通信複雑性の下界から、$\text{DISJ}_{\lambda}^\prime$ の決定的プロトコルは $\Omega(n)$ ビットを必要とし、一方で量子プロトコルはたった $O\left(\log n\right)$ ビットで十分であることが示された。
• MO-1QCFA の構築と測定下での受容挙動を確認することで、受容確率が「はい」インスタンスでは 1 に、そして「いいえ」インスタンスでは最大 $\frac{1}{4}$ に保たれることを確認でき、片側誤差が保証された。