[論文レビュー] Commutative and non-commutative bialgebras of quasi-posets and applications to Ehrhart polynomials

Loïc Foissy|arXiv (Cornell University)|May 26, 2016

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ひとこと要約

この論文は、クasi-ポスト（quasi-posets）上の可換および非可換バイアルゲブラを導入し、ホップ代数的構造を用いてEhrhart多項式を研究する。相互作用するバイアルゲブラを用いてEhrhart多項式の双対性原理を確立し、帰納的法則の代数的証明を提供するとともに、Faulhaberの公式およびB-seriesに関する結果を一般化し、パックドワード（packed words）による非可換版と、新たな非可換双対性原理を提示する。

ABSTRACT

To any poset or quasi-poset is attached a lattice polytope, whose Ehrhart polynomial we study from a Hopf-algebraic point of view. We use for this two interacting bialgebras on quasi-posets. The Ehrhart polynomial defines a Hopf algebra morphism taking its values in Q[X], we deduce from the interacting bialgebras an algebraic proof of the duality principle, a generalization and a new proof of a result on B-series due to Whright and Zhao, using a monoid of characters on quasi-posets, and a generalization of Faulhaber's formula. We also give non-commutative versions of these results: polynomials are replaced by packed words. We obtain in particular a non-commutative duality principle.

研究の動機と目的

• クasi-ポストを用いたラティス多面体のEhrhart多項式を研究するためのホップ代数的フレームワークの構築。
• クasi-ポスト上の相互作用するバイアルゲブラを用いて、Ehrhart多項式の双対性原理を確立すること。
• クasi-ポスト上のキャラクターとそのモノイド構造を用いて、B-seriesに関する結果およびFaulhaberの公式を一般化すること。
• パックドワードを用いて非可換設定に理論を拡張し、非可換双対性原理を定義すること。

提案手法

• 下部集合への制限に基づくおよび区間分解に基づく2つの異なるコプロダクトを用いて、クasi-ポスト上に2つの相互作用するバイアルゲブラを構成する。
• Ehrhart多項式を介して、クasi-ポストのバイアルゲブラからℚ[X]へのホップ代数的準同型を定義し、スケーリングされた多面体内の整数点の数を符号化する。
• クasi-ポスト上のキャラクターのモノイドを導入し、Ehrhart多項式の分析と双対性原理の代数的証明を実行する。
• ホップ代数WQSymにおけるパックドワードの構造を用いて、Ehrhart多項式および双対性の非可換類似物を定義する。
• 自己同型Φ−1を用いて非可換双対性原理を確立し、Φ−1(x↓y) = Φ−1(x)⊲⊳Φ−1(y)および逆にΦ−1(x⊲⊳y) = Φ−1(x)↓Φ−1(y)が成り立つことを示す。
• 順序集合へのEhrhart写像の像がWQSym代数全体に一致することを証明し、全射性および非可換双対性との整合性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Ehrhart多項式は、クasi-ポストのバイアルゲブラからℚ[X]へのホップ代数的準同型としてどのように解釈できるか？
• RQ2 Ehrhart多項式の帰納的法則の代数的起源は何か？また、バイアルゲブラ的構造を用いて証明可能か？
• RQ3 WrightとZhaoが得たB-seriesに関する結果は、クasi-ポスト上のキャラクターを用いて代数的に一般化・再証明可能か？
• RQ4 Ehrhart多項式の非可換類似物は何か？また、この設定における双対性はどのように現れるか？
• RQ5 順序集合のホップ代数からWQSymへのEhrhart写像は全射か？これは像の構造にどのような意味を持つのか？

主な発見

• Ehrhart多項式は、クasi-ポストのバイアルゲブラからℚ[X]へのホップ代数的準同型を定める。これにより、その性質の代数的解析が可能になる。
• クasi-ポスト上のキャラクターのモノイドと相互作用するバイアルゲブラの構造を用いて、Ehrhart多項式の双対性原理が代数的に証明された。
• キャラクターαとリーマンゼータ関数との関係から、Faulhaberの公式の一般化が導出された。
• 非可換双対性原理が成立する：Φ−1(x↓y) = Φ−1(x)⊲⊳Φ−1(y) および Φ−1(x⊲⊳y) = Φ−1(x)↓Φ−1(y) が成り立ち、Φ−1はWQSym上での自己同型である。
• EHR写像およびその厳密版EHR^{str}は、順序集合に制限した場合にWQSymホップ代数上へ全射である。これは、WQSymが順序集合上でのEhrhart構成の像であることを示唆する。
• WQSymにおけるパックドワードの構造により、Ehrhart多項式の非可換一般化が得られ、順序集合へのEhrhart写像はWQSym代数全体を実現する。