[論文レビュー] Two interacting Hopf algebras of trees

Damien Calaque, Kurusch Ebrahimi‐Fard+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2008

Advanced Topics in Algebra参考文献 39被引用数 33

ひとこと要約

本稿は、辺の数で次数づけられる、可換だが余可換でないヒルベルト代数 H を、ループのないフェインマン図としての木の挿入によってコプロダクトが定義される根付き森のクラスに導入する。この H は、コンネス＝クレーマーのヒルベルト代数 H_CK に驚くべき H-双モジュール構造を備え、数値解析における主要な結果の回復を可能にする。特に、B系列における合成と代入の整合性、および後退誤差解析の文字 ω は、H* の原始的部品における前リーマン積と、左コアクション作用素の双微分性を用いて回復される。

ABSTRACT

Hopf algebra structures on rooted trees are by now a well-studied object, especially in the context of combinatorics. In this work we consider a Hopf algebra H by introducing a coproduct on a (commutative) algebra of rooted forests, considering each tree of the forest (which must contain at least one edge) as a Feynman-like graph without loops. The primitive part of the graded dual is endowed with a pre-Lie product defined in terms of insertion of a tree inside another. We establish a surprising link between the Hopf algebra H obtained this way and the well-known Connes-Kreimer Hopf algebra of rooted trees by means of a natural H-bicomodule structure on the latter. This enables us to recover recent results in the field of numerical methods for differential equations due to Chartier, Hairer and Vilmart as well as Murua.

研究の動機と目的

• 根付き森の新しい可換ヒルベルト代数 H を構成する。この H は辺の数で次数づけられ、各木をループのないフェインマン図とみなしてコプロダクトが定義される。
• H* の原始的部品に、木の挿入操作によって定義される前リーマン積を定義する。
• コンネス＝クレーマーのヒルベルト代数 H_CK に驚くべき H-双モジュール構造を確立し、二つの異なる根付き木のヒルベルト代数を結びつける。
• チャーティエ、ヘイラー、ヴィルマル、ムルアらの最近の研究結果を統合し、B系列の合成と代入に関する数値解析の結果を回復する。
• シャポトンが導入した文字 log* の対数と、後退誤差解析の文字 ω を、前リーマンマグナス展開を通じて関連付ける。

提案手法

• 各木をループのないフェインマン図とみなしてグラフを部分グラフに分割するすべての方法の和として、根付き森上の可換多項式代数にコプロダクトを定義する。
• H_CK とは異なり、辺の数 e(t) でヒルベルト代数 H を次数づける。
• H* の原始的部品を構成し、それを一つの木をもう一つの木に挿入することによって定義される前リーマン積で装備する。
• H 上のコプロダクトの自然な拡張を導入し、H_CK 上に H-双モジュール構造を定義し、H_CK 上のコアクション作用素を可能にする。
• 任意の H の無限小文字 a に対して、H_CK 上の左コアクション作用素 tL_a: H_CK → H_CK が双微分であることを示す。
• 双微分性を用いて、任意の H の文字 φ に対して、ヒルベルト代数自己同型 tL_φ を構成し、代数的構造を数値解法に結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ループのないフェインマン図の分解に基づくコプロダクトを用いて、辺の数で次数づけられる根付き森の新しいヒルベルト代数 H をどのように構成できるか。また、これはコンネス＝クレーマーのヒルベルト代数 H_CK とどのように異なるか。
• RQ2 H* のグレーディング双対の原始的部品にどのような代数的構造が生じるか。また、それは木の挿入操作とどのように関係するか。
• RQ3 新たに定義されたヒルベルト代数 H とコンネス＝クレーマーのヒルベルト代数 H_CK 間の関係の性質は何か。また、どのように双モジュール構造を用いて形式化できるか。
• RQ4 H_CK 上の H-双モジュール構造は、チャーティエ、ヘイラー、ヴィルマルらの結果を含む、B系列における合成と代入に関する既知の結果をどのように回復できるか。
• RQ5 後退誤差解析の文字 ω は、シャポトンが導入した文字 log* の対数と、どのように関連しているか。また、それは前リーマンマグナス展開とどのように一致するか。

主な発見

• ヒルベルト代数 H は辺の数で次数づけられ、各木をループのないフェインマン図とみなしてコプロダクトが定義される。これは、頂点に基づくコンネス＝クレーマーのヒルベルト代数 H_CK とは異なる。
• グレーディング双対 H* の原始的部品には、一つの木をもう一つの木に挿入することによって定義される自然な前リーマン積が備わり、木の挿入に非自明な代数的構造を提供する。
• H 上のコプロダクトの拡張を用いて、H_CK 上に H-双モジュール構造を確立し、二つのヒルベルト代数間の深い代数的関係を明らかにする。
• 任意の H の無限小文字 a に対して、H_CK 上の左コアクション作用素 tL_a は双微分である。これは、さらなる代数的構成を可能にする重要な構造的性質である。
• 双微分性から、任意の H の文字 φ に対してヒルベルト代数自己同型 tL_φ を構成でき、チャーティエ、ヘイラー、ヴィルマルらが示した B系列における合成と代入の法則の整合性が回復される。
• 後退誤差解析の文字 ω は、シャポトンが導入した文字 log* の対数と同定され、その再帰的公式が前リーマンマグナス展開と一致することが示され、数値解析の結果と整合することが確認される。