[論文レビュー] Comparing the stochastic nonlinear wave and heat equations: a case study

Tadahiro Oh, Mamoru Okamoto|Edinburgh Research Explorer (University of Edinburgh)|Aug 9, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 48被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、空間時空ホワイトノイズの分数階微分によって駆動される二次非線形性を有する確率的非線形波動方程式（SNLW）と確率的非線形熱方程式（SNLH）を比較する。SNLWはα = 1/2で第二階確率項の不連続性によりill-posedとなるが、SNLHはα = 1までwell-posedのままである。これは、粗いノイズ条件下でSNLWはSNLHよりも劣っていることを示している。

ABSTRACT

We study the two-dimensional stochastic nonlinear wave equation (SNLW) and stochastic nonlinear heat equation (SNLH) with a quadratic nonlinearity, forced by a fractional derivative (of order $α> 0$) of a space-time white noise. In particular, we show that the well-posedness theory breaks at $α= \frac 12$ for SNLW and at $α= 1$ for SNLH. This provides a first example showing that SNLW behaves less favorably than SNLH. (i) As for SNLW, Deya (2020) essentially proved its local well-posedness for $0 < α< \frac 12$. We first revisit this argument and establish multilinear smoothing of order $\frac 14$ on the second order stochastic term in the spirit of a recent work by Gubinelli, Koch, and Oh (2018). This allows us to simplify the local well-posedness argument for some range of $α$. On the other hand, when $α\geq \frac 12$, we show that SNLW is ill-posed in the sense that the second order stochastic term is not a continuous function of time with values in spatial distributions. This shows that a standard method such as the Da Prato-Debussche trick or its variant, based on a higher order expansion, breaks down for $α\ge \frac 12$. (ii) As for SNLH, we establish analogous results with a threshold given by $α= 1$. These examples show that in the case of rough noises, the existing well-posedness theory for singular stochastic PDEs breaks down before reaching the critical values ($α= \frac 34$ in the wave case and $α= 2$ in the heat case) predicted by the scaling analysis (due to Deng, Nahmod, and Yue (2019) in the wave case and due to Hairer (2014) in the heat case).

研究の動機と目的

• 粗いノイズによって駆動される場合に、確率的非線形波動方程式（SNLW）の解理論が、確率的非線形熱方程式（SNLH）のそれと一致するかを調査すること。
• 空間時空ホワイトノイズの分数階微分によって駆動される場合の、SNLWおよびSNLHのwell-posednessの臨界正則性閾値αを特定すること。
• ハイパボリック設定において、標準的なwell-posedness技法（例：Da Prato-Debusscheのテクニック）がなぜ失敗するかを分析すること。
• α < 1/2の場合に局所的なwell-posednessの議論を簡略化するために、SNLWにおける第二階確率項に対して多項式スムージングを確立すること。
• SNLWのwell-posedness閾値がスケーリング予測（α = 3/4）よりも前に行われる、つまり放物的ケースよりも深刻な崩壊を示すかどうかを示すこと。

提案手法

• SNLWおよびSNLHをパラコントロール計算および確率的展開を用いて再定式化し、第二階確率項を分離する。
• Gubinelli, Koch, and Oh (2018) のインスピレーションを受けて、SNLWにおける第二階確率項に1/4次の多項式スムージング推定を適用し、局所的well-posednessの議論を改善する。
• Besov空間推定およびパラプロダクト分解を用いて、方程式内の非線形相互作用を制御する。
• 離散的畳み込み推定および線形確率的推定を用いて、確率的対象の正則性を分析する。
• ウィenerホワイトノイズ展開を用いて関連する確率的対象を構成し、その収束性を分析する。
• SNLWにおいてα ≥ 1/2のとき、およびSNLHにおいてα ≥ 1のとき、第二階確率項が空間分布値をとる時間に関して連続でないことを示して、ill-posedであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 α > 0 の粗いノイズによって駆動される場合に、SNLWの解理論はSNLHのそれと一致するか？
• RQ2 SNLWがill-posedになる臨界値αは何か？
• RQ3 なぜ標準的なDa Prato-Debusscheのテクニックは、α ≥ 1/2 のときSNLWでは失敗するが、SNLHではα = 1まで有効なのであろうか？
• RQ4 SNLWにおける第二階確率項の多項式スムージングは、well-posedness閾値にどのように影響を与えるか？
• RQ5 SNLWのwell-posedness閾値はスケーリング予測（α = 3/4）よりも前に現れるか？ これは、放物的ケースよりも深刻な崩壊を示唆するか？

主な発見

• SNLWは0 < α < 1/2で局所的にwell-posedであり、1/4次の多項式スムージングにより証明が簡略化される。
• α ≥ 1/2のとき、SNLWは第二階確率項が空間分布値をとる時間に関して連続でないためill-posedである。
• SNLHはα < 1でwell-posedのままだが、α = 1で同様の確率的項の正則性の崩壊によりill-posedとなる。
• SNLWのwell-posedness閾値（α = 1/2）はスケーリング予測（α = 3/4）よりも前に現れ、予想よりも深刻な振る舞いを示す。
• SNLHのwell-posedness閾値（α = 1）もスケーリング予測（α = 2）よりも前に現れるが、SNLWの崩壊はより深刻である。
• 本研究は、粗いノイズ下でSNLWがSNLHよりも劣る初の例を提供し、双曲型と放物型の特異確率偏微分方程式の解理論における根本的な違いを強調している。