[論文レビュー] Comparison Inequalities for Order Statistics of Gaussian Arrays

Krzysztof Dȩbicki, Enkelejd Hashorva+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2015

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 33被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、正規比較補題およびスレピアンの不等式をガウス配列の順序統計量へ拡張し、異なる共分散構造を持つ2つのガウス配列からの順序統計量の同時尾確率の差に対する境界を導出する。主な貢献は、自己相似ガウス過程の順序統計量の下側尾部挙動に関する比較不等式であり、これにより、分数次元ブラウン運動などの自己相似過程に対して混合ガウベル極限定理が得られる。

ABSTRACT

Normal comparison lemma and Slepian's inequality are essential tools in the study of Gaussian processes. In this paper we extend normal comparison lemma and derive various related comparison inequalities including Slepian's inequality for order statistics of two Gaussian arrays.The derived results can be applied in numerous problems related to the study of the supremum of order statistics of Gaussian processes. In order to illustrate the range of possible applications, we analyze the lower tail behaviour of order statistics of self-similar Gaussian processes and derive mixed Gumbel limit theorems.

研究の動機と目的

• 古典的な比較不等式（正規比較補題およびスレピアンの不等式）を、共分散構造が異なるガウス配列の順序統計量の設定へ拡張すること。
• 異なる共分散行列をもつ2つのガウス配列からの順序統計量の積分布関数の差に対する境界を導出すること。
• 特に分数次元ブラウン運動を含む自己相似ガウス過程の順序統計量の下側尾部挙動を分析すること。
• ガウス過程のr番目の順序統計量過程の上限に対する混合ガウベル極限定理を確立すること。
• 捕獲時刻や追跡過程を含む極値理論の応用における理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 多変量への正規比較補題の拡張を用いて、2つのガウス配列からの順序統計量ベクトルの累積分布関数の差に関する比較不等式を導出する。
• プラケットの偏微分方程式フレームワークを用いて依存構造を分析し、相関係数のアークサイン変換を含む境界を導出する。
• 共分散行列Σ^(1)とΣ^(0)の構造を用いて、正の相関差を持つインデックス対の和を介してΔ_(r)(u) = P(X_(r) ≤ u) - P(Y_(r) ≤ u) の差を有界化する。
• 自己相似性および長-range依存性の下で極値極限と関連付けることにより、r番目の順序統計量過程の上限の下側尾部の漸近的結果を確立する。
• Hurst指数α/2の分数次元ブラウン運動に適用し、上限の下側尾部がx ↓ 0のときx^(2p_{r:n,α}/α + o(1))のようになることを示す。
• 相関関数を修正した補助ガウス過程とグリッドベースのサンプリングを用いて尾確率を制御し、極限における収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スレピアンの不等式および正規比較補題は、共分散構造が異なるガウス配列の順序統計量のケースにどのように一般化できるか？
• RQ2 2つのガウス配列からの順序統計量の積分布関数の差に対する明確な境界は何か？
• RQ3 自己相似ガウス過程のr番目の順序統計量過程の上限の漸近的下側尾部挙動は何か？
• RQ4 このような過程の上限の下側尾部が混合ガウベル極限定理に従う条件は何か？
• RQ5 過程が独立な分数次元ブラウン運動によって摂動された場合、r番目の順序統計量過程の尾確率はどのように振る舞うか？

主な発見

• 本稿では、相関差のアークサイン変換を含むインデックス対の和によって有界化される、2つのガウス配列からの順序統計量の積分布関数の差に関する比較不等式を導出する。
• 分数次元ブラウン運動のr番目の順序統計量過程の上限の下側尾部確率は、x ↓ 0のときP(sup_{t∈[0,1]} B_{r:n,α}(t) ≤ x) = x^{2p_{r:n,α}/α + o(1)}を満たし、p_{r:n,α} ≥ 0である。
• 独立な分数次元ブラウン運動によって摂動された場合、差過程の上限の下側尾部はx^{2q_{r:n,α}/α + o(1)}と衰える。ここでq_{r:n,α} ≥ 0である。
• 分離可能な定常ガウス過程へのカップリングおよび相関関数の修正を用いて、非定常的かつ非ガウス的過程へ結果を拡張する。
• グリッドベースのサンプリングアプローチを用い、相関関数を修正した補助過程との比較により、尾確率の漸近的挙動を確立する。
• 証明は、有界な相関関数をもつ補助ガウス過程の構築に依拠し、極値理論を適用して、極限における特定の尾確率が0に収束することを示す。