[論文レビュー] Comparison of dynamical degrees for semi-conjugate meromorphic maps

Tien‐Cuong Dinh, Viêt‐Anh Nguyên|ArXiv.org|Mar 15, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、射影多様体 $X$ 上の半共役な有理型写像 $f$ の力学的次数 $d_p(f)$ と、底面多様体 $Y$ 上に誘導される写像 $g$ の力学的次数 $d_j(g)$、およびファイブレーション $ \pi: X \to Y$ に関する相対的力学的次数 $d_{p-j}(f|\pi)$ の間の明確な公式を確立する。主な結果は、$d_p(f) = \max_{\max\{0,p-k+l\} \leq j \leq \min\{p,l\}} d_j(g) \cdot d_{p-j}(f|\pi)$ であり、これはハッセルブラット＝プロップ（2007）における未解決問題を解決するもので、$\max d_p(f) \geq \max d_p(g)$ を含む。この結果は、Kodaira次元や力学的次数の対数凸性への応用を伴う。

ABSTRACT

Let f be a dominant meromorphic self-map on a projective manifold X which preserves a meromorphic fibration pi: X --> Y of X over a projective manifold Y. We establish formulas relating the dynamical degrees of f, the dynamical degrees of f relative to the fibration and the dynamical degrees of the self-map g on Y induced by f. Applications are given.

研究の動機と目的

• 射影多様体 $X$ 上の有理型写像 $f$ がファイブレーション $\pi: X \to Y$ を保存するとき、$X$ 上の $f$ と $Y$ 上の誘導写像 $g$ の間の力学的関係を理解すること。
• 写像 $f$ の力学的次数 $d_p(f)$ と、$g$ の力学的次数 $d_j(g)$、および $f$ のファイブレーション $\pi$ に関する相対的力学的次数 $d_{p-j}(f|\pi)$ の間の明確な公式を確立すること。
• ハッセルブラット＝プロップ（2007）の問題9.3を解決すること。すなわち、このようなファイブレーションにおいて $\max d_p(f) \geq \max d_p(g)$ が成り立つかどうかを問うものである。
• 結果を、連続する異なる力学的次数を持つ写像をもつ多様体のKodaira次元を制約する応用に用いること。
• 共役写像に関する既知の結果を一般化し、特にコンパクトなKähler多様体上の正則的および有理型写像に一般化して、半共役設定に拡張すること。

提案手法

• 著者たちはホッジコホノロジーと $f$ の反復作用が $H^{p,p}(X,\mathbb{R})$ 上に与える影響を用い、$(f^n)^*$ のノルムの成長と力学的次数を関連付ける。
• 相対的力学的次数 $d_p(f|\pi)$ を、ファイブレーション $\pi$ の一般ファイバーに台を持つクラス上で $(f^n)^*$ の成長率として定義し、部分空間 $H^{l+p,l+p}_\pi(X,\mathbb{R})$ を用いる。
• 正則閉コホンロジーと $\pi$ および $\Pi$ を通じたケーラー形式の引き戻しを用い、Lefschetz双対性およびPoincaré双対性を用いて質量の成長を推定する。
• Khovanskii, Teissier, Gromov が示した力学的次数の対数凸性（既知の結果）を応用し、次数の構造的制約を導出する。
• 鍵となる技術的ステップは、$(f^n)^*\Pi^*(\omega^{p-j}) \wedge \Pi^*(\omega^{k-l-p+j})$ の質量を一般ファイバーに制限したときの推定であり、これにより $\lambda_j(g^n)$ および $a_{p-j,p-j}(n)$ と結びつける。
• 帰納法と $b_p(rn)$ および $\mu_p(n)$ を用いた漸近的推定により、$d_p(f)$ を $d_j(g) \cdot d_{p-j}(f|\pi)$ の積の形で評価し、最大値の公式に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半共役な有理型写像 $f$ の力学的次数 $d_p(f)$ は、底面多様体 $Y$ 上の写像 $g$ の力学的次数 $d_j(g)$ と、ファイブレーション $\pi: X \to Y$ に関する相対的力学的次数 $d_{p-j}(f|\pi)$ とどのように関係するか。
• RQ2 ハッセルブラット＝プロップ（2007）の問題9.3が提起したように、半共役写像において不等式 $\max d_p(f) \geq \max d_p(g)$ が成り立つかどうか。
• RQ3 連続する異なる力学的次数を持つ $f$ が、多様体 $X$ のKodaira次元にどのような制約を課えるか。
• RQ4 半共役性の条件下で、$f$ の力学的次数が $g$ の次数と $f|\pi$ の相対的次数の積に完全に分解可能か。
• RQ5 $d_p(f)$ の対数凸性が、$d_p(g)$ および $d_p(f|\pi)$ に対しても同様の対数凸性を示唆する条件は何か。

主な発見

• 主な公式は $d_p(f) = \max_{\max\{0,p-k+l\} \leq j \leq \min\{p,l\}} d_j(g) \cdot d_{p-j}(f|\pi)$ であり、$f$ の力学的次数が $g$ の次数と $f$ のファイブレーションに関する相対的次数に明確に関連づけられることを示す。
• 不等式 $\max d_p(f) \geq \max d_p(g)$ が成り立つ。これはハッセルブラット＝プロップ（2007）の問題9.3に対する肯定的解決である。
• もし $f$ が連続する異なる力学的次数を持つならば、$g$ も $f|\pi$ の相対的力学的次数も連続する異なる次数を持つことが保証され、力学系の非退化性が保たれる。
• もし $X$ が連続する異なる力学的次数を持つ支配的有理型写像をもつならば、$X$ のKodaira次元は $0$ または $-\infty$ でなければならない。これはIitakaファイブレーションを用い、$g$ が周期的で $d_j(g) = 1$ となることから示される。
• もし $X$ と $Y$ が同じ次元を持つならば、$f$ と $g$ の力学的次数は等しくなる。これはSibonyおよびDinh、Nakayama-Zhang の結果を一般化する。
• 証明は力学的次数の対数凸性と、Kodaira次元 $\kappa_X \geq 1$ のとき、Iitakaファイブレーション上に誘導される写像 $g$ が周期的になるという事実に依拠しており、$f$ が連続する異なる次数を持つ場合に矛盾を引き起こす。