[論文レビュー] Comparison of spectral radii and Collatz-Wielandt numbers for homogeneous maps, and other applications of the monotone companion norm on ordered normed vector spaces

Horst R. Thieme|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、順序付きノルム線形空間における単調的補助半ノルム $\psi(x) = d(x, -X_+)$ を導入し、同型的・順序を保つ写像のスペクトル半径とコラーツ・ヴィランドト数を比較する。正規錐を仮定しない積分不等式の比較原理を確立し、非線形正写像の点的散逸性条件を導出し、重み付きノルムを用いて錐スペクトル半径の評価をし、クレイン＝ルトマン理論を非線形設定に拡張する。

ABSTRACT

It is well known that an ordered normed vector space $X$ with normal cone $X_+$ has an order-preserving norm that is equivalent to the original norm. Such an equivalent order-preserving norm is given by \begin{equation} \sharp x \sharp = \max \{ d(x, X_+), d(x, - X_+)\}, \qquad x \in X. \end{equation} This paper explores the properties of this norm and of the half-norm $ψ(x) = d(x,-X_+)$ independently of whether or not the cone is normal. We use $ψ$ to derive comparison principles for the solutions of abstract integral equations, derive conditions for point-dissipativity of nonlinear positive maps, compare Collatz-Wielandt numbers, bounds, and order spectral radii for bounded homogeneous maps and give conditions for a local upper Collatz-Wielandt radius to have a lower positive eigenvector.

研究の動機と目的

• 正規錐の仮定に依存しない、単調的補助半ノルム $\psi(x) = d(x, -X_+)$ の独自の開発と分析。
• 正規錐を仮定しない抽象的積分不等式の解に対する比較定理の確立。
• 順序付きバナッハ空間における非線形正写像の点的散逸性の十分条件の導出。
• 有界な同型的写像について、錐スペクトル半径、順序スペクトル半径、コラーツ・ヴィランドト数の比較。
• 局所的上界コラーツ・ヴィランドト半径が正固有ベクトルに対応するための条件の提示。

提案手法

• 順序付きノルム線形空間に対して、単調的補助半ノルム $\psi(x) = d(x, -X_+)$ 及び関連ノルム $\sharp x\sharp = \max\{\psi(x), \psi(-x)\}$ を導入する。
• $\psi$ を用いて、正規錐を仮定しない積分不等式 $u(t) \geq \int_0^t K(t,s)u(s)ds$ の解に対する比較原理を導出する。
• 半ノルムを用いて、スペクトル半径が1未満である条件を満たす非線形写像 $F: X_+ \to X_+$ が点的散逸的であることを証明する。
• 重み付きノルム $\|B\|_w = \sup_{\|x\|_w=1} \|B(x)\|_w$ を用いて、錐スペクトル半径 $\mathbf{r}_+(B)$ を評価し、特に $\ell^p$ や $c_0$ 空間上の写像に対して適用する。
• 線形上界を用いたスペクトル半径推定を組み合わせることで、クレイン＝ルトマン定理の枠組みを非線形写像に応用する。
• $cw(B)$ を用いて $\mathbf{r}_+(B) > 0$ の十分条件を導出し、$e^m$ や $x^m$ のような列を用いて評価の正定性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 抽象的積分不等式 $u(t) \geq \int_0^t K(t,s)u(s)ds$ の解が、正規錐を仮定しない状況でもすべての $t \in [0,b]$ で正であるための条件は何か？
• RQ2 単調的補助半ノルム $\psi(x)$ を用いて、同型的・順序を保つ写像のスペクトル半径とコラーツ・ヴィランドト数をどのように比較できるか？
• RQ3 順序付きバナッハ空間における非線形正写像 $F: X_+ \to X_+$ の点的散逸性を保証する条件は何か？
• RQ4 局所的上界コラーツ・ヴィランドト半径が正固有ベクトルに対応するのはいつか？
• RQ5 重み付きノルム $\|B\|_w$ を用いて、無限次元写像の錐スペクトル半径 $\mathbf{r}_+(B)$ をどのように推定できるか？

主な発見

• 定理1.2では、任意の順序付きバナッハ空間において、積分不等式 $u(t) \geq \int_0^t K(t,s)u(s)ds$ の解 $u(t)$ がすべての $t \in [0,b]$ で正であることが確立される。正規錐の仮定は不要である。
• 定理1.3では、$F$ がスペクトル半径が1未満である線形上界条件を満たす場合、$F$ は点的散逸的であり、有界集合に対してコンパクトなグローバルアトラクタを有する。
• $\ell^\infty$ 上の同型的写像 $B$ に対して、錐スペクトル半径は $\mathbf{r}_+(B) \leq \max\left\{q_1 + \sum_{j,k} \beta_{jk}, \sup_{m \geq 2} \max\{p_{m-1}, q_m\} \right\}$ を満たす。$\ell^1$ 及び $c_0$ に対しても同様の評価が成り立つ。
• $\max\{p_{m-1}, q_m\} \leq c\theta^m$ が $\theta \in (0,1)$ に対して成り立つならば、$\mathbf{r}_+(B) \leq \|B\|_w = \max\left\{q_1 + \sum \beta_{jk}\theta^{j+k-1}, \sup_{m \geq 2} \max\{p_{m-1}/\theta, q_m\} \right\}$ が成り立つ。
• $\mathbf{r}_+(B) > 0$ であるための必要十分条件は、$q_1 + \beta_{11} > 0$ または、ある $j,k$ に対して $\beta_{jk} > 0$ かつすべての $i < \max\{j,k\}$ に対して $p_i > 0$ が成り立つことである。
• $\max\{p_{m-1}, q_m\} \leq m^{-\alpha}$ が $\alpha > 1$ に対して成り立つならば、$\mathbf{r}_+(B) \leq \|B\|_w = \max\left\{q_1 + \sum \beta_{jk} j^{-\alpha}k^{-\alpha}, \sup_{m \geq 2} \max\{p_{m-1}(m/(m-1))^\alpha, q_m\} \right\}$ が成り立ち、$\alpha \to 1^+$ の極限でも評価は成立する。