[論文レビュー] Comparison of viscosity solutions of fully nonlinear degenerate parabolic Path-dependent PDEs

Zhenjie Ren, Nizar Touzi+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Jensen, Lions, Souganidis のインスピレーションを受ける正則化法を用いて、完全非線形で退化するパラメータ依存型偏微分方程式（PDE）の粘性解に対する比較原理を確立する。解および非線形性のパス変数に関する L^p 型連続性条項を導入し、退化および1階のパス依存型 PDE の取り扱いを可能にするとともに、有限次元 PDE の結果に依存しないことで、従来の証明を著しく簡略化する。

ABSTRACT

We prove a comparison result for viscosity solutions of (possibly degenerate) parabolic fully nonlinear path-dependent PDEs. In contrast with the previous result in Ekren, Touzi & Zhang, our conditions are easier to check and allow for the degenerate case, thus including first order path-dependent PDEs. Our argument follows the regularization method as introduced by Jensen, Lions & Souganidis in the corresponding finite-dimensional PDE setting. The present argument significantly simplifies the comparison proof in Ekren, Touzi & Zhang, but requires an $L^p-$type of continuity (with respect to the path) for the viscosity semi-solutions and for the nonlinearity defining the equation.

研究の動機と目的

• 完全非線形で、可能性として退化する、パラメータ依存型放物型 PDE の粘性解に対する比較原理を確立すること。
• Ekren, Touzi & Zhang (2014) の先行研究における技術的条件を緩和し、特に退化を許容し、検証条件を簡素化すること。
• Jensen, Lions, Souganidis の正則化法を、パス依存設定に適応した証明戦略を構築すること。
• 存在理論に依存しない比較結果を保証し、Perron の方法や数値スキームの収束解析への応用を可能にすること。
• 従来の条件が除外していた、1階のパス依存型 PDE を含む wellposedness 理論への拡張を図ること。

提案手法

• Jensen, Lions, Souganidis の正則化法を、確率的枠組みを用いてパス依存型 PDE の設定に適応する。
• 粘性下半解および非線形性 G に対して、パス変数に関する L^p 型連続性条項を課す。
• 動的計画法の定式化を用いて、d_p 距離における解の均等連続性を推定する。
• 確率的微分方程式の推定と Gronwall の不等式を用いて、初期パスの摂動に対する解の感度を制御する。
• P-点的微分可能性の概念を用い、Caffarelli & Cabré の概念をパス依存設定へ拡張する。
• 有限次元 PDE の結果に依存しない、正則化されたテスト関数に対する極限による比較の確立により、証明を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Ekren, Touzi & Zhang (2014) より弱い条件下で、完全非線形で退化するパス依存型 PDE の粘性解に対する比較原理を確立できるか？
• RQ2 有限次元粘性理論からの正則化法が、L^p 型連続性を満たすパス依存設定へ拡張可能か？
• RQ3 比較結果を存在理論に依存させず、Perron の方法の適用を可能にするか？
• RQ4 P-粘性下半解のクラスは、1階のパス依存型 PDE を十分に含むか？
• RQ5 P-点的微分可能性は、パス依存型 PDE における比較の証明において、どのような役割を果たすか？

主な発見

• 本稿は、完全非線形で、可能性として退化する、パラメータ依存型放物型 PDE の粘性解に対して、L^p 型連続性条項の下で比較原理を確立する。
• 従来の証明における有限次元 PDE への還元を避けることで、技術的複雑性を著しく低減する。
• 本手法により、従来の退化制約により除外されていた 1 階のパス依存型 PDE も含めることが可能になる。
• 動的計画法によって定義される解 u が d_p 均等連続であることが示され、その明示的評価は σ のリプシッツ定数と時間区間の長さに依存する。
• 推定式 |u(t,ω) - u(t',ω)| ≤ ρ((1 + ˜C^{1/2p})((T+1)Ĉ)^{1/p} (t'−t)^{1/2}) により、時間方向における指数 1/2 のホルダー連続性が示される。
• 結果として、適切な可積分性を満たす P-粘性下半解は、Lebesgue⊗P₀-ほとんど everywhere で P-点的微分可能であることが確認され、証明の主要な技術的道具となる。