[論文レビュー] Comparison theorems on H-type sub-Riemannian manifolds

Fabrice Baudoin, Erlend Grong+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 40被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、リーマン計量の標準的変形の極限を分析することにより、H型の部分リーマン多様体に対して一様な部分ヘッセ型および部分ラプラシアン比較定理を確立する。古典的リーマン比較定理が標準的変形における曲率の発散により失敗するのを克服し、接触多様体およびクaternion的接触多様体に関する既存の結果を拡張する、鋭い部分リーマンのボンネット＝マイヤース定理を証明する。曲率の下界が与えられれば、部分リーマンの極限においても有限な直径の推定が得られることを示す。

ABSTRACT

On H-type sub-Riemannian manifolds we establish sub-Hessian and sub-Laplacian comparison theorems which are uniform for a family of approximating Riemannian metrics converging to the sub-Riemannian one. We also prove a sharp sub-Riemannian Bonnet-Myers theorem that extends to this general setting results previously proved on contact and quaternionic contact manifolds.

研究の動機と目的

• H型部分リーマン多様体における水平ラプラシアンおよびヘッセ型の比較推定を、近似リーマン計量の族全体にわたって一様に確立すること。
• 標準的変形における曲率の無限大発散により、古典的リーマン比較定理が部分リーマン極限で失敗する問題を克服すること。
• 接触多様体および3-ササキアン多様体に関する既知の結果を一般化し、一般のH型構造に対して有効な鋭い部分リーマンのボンネット＝マイヤース定理を証明すること。
• リーマンの比較推定の部分リーマン極限が、曲率条件のもとで有限な直径の上限を与えることを確立すること。
• 幾何的解析を通じてHladky接続と標準的変形を用いることで、特定の状況下で$J^2$条件を除去しつつ、比較定理の有効性を保つこと。

提案手法

• リーマン計量の標準的変形$g_\varepsilon = g_\mathcal{H} \oplus \frac{1}{\varepsilon}g_\mathcal{V}$を用い、$\varepsilon \to 0$のとき部分リーマン計量に収束することを用いる。
• 比較の目的のために、歪対称な torsion を持つ計量的可換接続を定義するため、Hladky接続およびその関連する曲率と torsion を適用する。
• すべての$\varepsilon > 0$に対して有効な一様比較定理を導出する：水平ラプラシアン$\Delta_\mathcal{H} r_\varepsilon \leq F_\varepsilon(r_\varepsilon)$、ここで$F_\varepsilon$は$\varepsilon \to 0$のとき有限極限に収束する。
• 指数補題および測地線上のジャコビ場の解析を用い、接続$D$のもとでの距離関数のヘッセ型を曲率および torsion 項と比較する。
• 曲率の下界と比較推定を関連付けるために、ヘッセ型の公式$\mathrm{Hess}^D(r)(X,X) = \int_0^r \left( \langle D_{\dot\gamma}V, \hat{D}_{\dot\gamma}V \rangle - \langle R(V,\dot\gamma)\dot\gamma, V \rangle \right) dt$を用いる。
• 測地線に直交する任意のベクトル場$W$に対して、ヘッセ型がそのインデックス形式$I(W,W)$によって上から抑えられることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 H型部分リーマン多様体に対して、リーマン計量の標準的変形の族全体にわたって一様な部分ヘッセ型および部分ラプラシアン比較定理を確立できるか？
• RQ2 近似計量における曲率の発散により、古典的ラプラシアン比較定理が部分リーマン極限で失敗するのか？ もしそうならば、一様な代替定理を構築できるか？
• RQ3 一般のH型多様体に対して、$J^2$条件を仮定せずに鋭い部分リーマンのボンネット＝マイヤース定理を証明できるか？
• RQ4 リーマンの比較推定の$\varepsilon \to 0$における極限が、部分リーマン設定において有限かつ意味を持つのか？
• RQ5 H型構造上の曲率の下界が、部分リーマン極限における直径の下界にどのように対応するか？

主な発見

• 本稿では、すべての$\varepsilon > 0$に対して、$\Delta_\mathcal{H} r_\varepsilon \leq \frac{N(\varepsilon)}{r_\varepsilon}$の形の、一様な部分ラプラシアン比較定理を確立する。ここで$N(\varepsilon)$は漸近的に鋭く、$\varepsilon \to 0$のとき有限定数に収束する。
• 鋭い部分リーマンのボンネット＝マイヤース定理が証明された：水平リッチ曲率が$(2d+2)\kappa$以上であるならば、$\kappa > 0$のとき部分リーマンの直径は$\frac{\pi}{\sqrt{\kappa}}$以下である。接触多様体および3-ササキアン多様体に関する既存の結果を拡張する。
• ヘッセ型比較定理は一様に成立する：$\mathrm{Hess}^D(r)(X,X) \leq \int_0^r \left( \langle D_{\dot\gamma}V, \hat{D}_{\dot\gamma}V \rangle - \langle R(V,\dot\gamma)\dot\gamma, V \rangle \right) dt$、等号は$V$がジャコビ場であるとき成立する。
• リーマンの比較推定の部分リーマン極限は、有限かつ鋭い上限を与える。$\varepsilon \to 0$のとき古典的推定が発散する問題を解決する。
• $J^2$条件は、Hladky接続と指数補題を用い、歪対称 torsion を持つ計量的可換接続を用いることで、比較定理において除去可能である。
• 標準的変形は、$\varepsilon \to 0$のとき曲率が発散するが、リーマン計量の族を生成する。しかし、比較推定は一様に有界であり、意味のある部分リーマン極限に収束する。