[論文レビュー] Compatible and Almost Compatible Pseudo-Riemannian Metrics

O. I. Mokhov|ArXiv.org|May 5, 2000

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 33被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、平坦でない場合や一定曲率の場合への平坦なペンキルの一般化として、相性の良いおよびほぼ相性の良い擬リーマン計量を導入し、分類する。相性の良い計量は、線形結合においてレヴィチビタ接続および曲率テンソルを線形的に保存することを確立し、修正版のフェラポントフの手法を用いて、非特異な2成分の平坦計量ペアを完全に分類する。この理論は、流体型系における非局所的ポアソン構造への応用を持つ。

ABSTRACT

Notions of compatible and almost compatible pseudo-Riemannian metrics, which are motivated by the theory of compatible (local and nonlocal) Poisson structures of hydrodynamic type and generalize the notion of flat pencil of metrics, are introduced and studied.

研究の動機と目的

• 平坦なペンキルの概念を平坦でない、および一定曲率の擬リーマン計量に一般化すること。
• レヴィチビタ接続および曲率テンソルの線形的挙動に基づく、相性の良いおよびほぼ相性の良い計量の厳密な定義を確立すること。
• すべての非特異な2成分の平坦計量ペアを分類し、完全で明示的な記述を提供すること。
• 流体型の局所的非退化ポアソン構造の相性の良い基準におけるフェラポントフの欠陥を是正すること。
• ガウス–ペテルソン–コダッチ方程式および擬ユークリッド空間内の曲面論を介して、理論を非局所的ポアソン括弧に結びつけること。

提案手法

• 計量の任意の線形結合におけるレヴィチビタ接続および曲率テンソルの線形従属性を用いて、相性の良いおよびほぼ相性の良い計量の定義を導入する。
• 一定リーマン曲率を持つ計量のペンキルを分析するために、フェラポントフの手法の修正版を適用する。
• レヴィチビタ接続の公式 $\Gamma^{i}_{jk} = \frac{1}{2}g^{is}(\partial_j g_{sk} + \partial_k g_{js} - \partial_s g_{jk})$ および曲率テンソルの式 $R^{i}_{jkl} = \partial_k \Gamma^i_{jl} - \partial_l \Gamma^i_{jk} + \Gamma^i_{pk}\Gamma^p_{jl} - \Gamma^i_{pl}\Gamma^p_{jk}$ を用いて、相性の良い条件を導出する。
• 曲率線座標系における対角計量のケースを分析し、関数 $g^i(u)$ および $(w^\alpha)^i(u)$ における常微分方程式系に還元し、条件 (7.6) および (7.7) がシステムを支配することを検証する。
• 非局所的ポアソン括弧 (7.2) の相性の良さが、それらの背後にある計量の相性の良さに依存することを示し、特に曲率線座標系のホロノミー条件のもとで、計量の相性の良さが括弧の相性の良さを示すことを示す。
• ガウス–ペテルソン–コダッチ方程式を用いて、システムを $E^{N+L}$ 内の $N$ 次元曲面の幾何学として解釈する。ここで $g_{ij}$ は第一基本形式であり、$w^\alpha$ はヴェインガルテン作用素である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で2つの擬リーマン計量が、すべての線形結合がレヴィチビタ接続および曲率テンソル構造を保存するような相性の良いペンキルを形成するか？
• RQ2 平坦でない場合の計量への一般化において、平坦計量の相性の良い分類を平坦でない場合や一定リーマン曲率を持つ計量にどのように拡張できるか？
• RQ3 流体型の非局所的ポアソン括弧とそれらの背後にある計量の相性の良さとの間の正確な関係は何か？
• RQ4 曲率線座標系における対角計量のケースでは、システムの相性の良さを支配する微分方程式は何か？
• RQ5 非局所的ポアソン構造 (7.2) の場合に、計量の相性の良さが括弧の相性の良さを示すという逆は一般に成り立つか？

主な発見

• 本稿は、すべての非特異な2成分の平坦計量ペアについて完全で明示的な分類を提供し、このようなペアが存在するのは $g^i_1(u) = f^i(u^i)g^i_2(u)$ を満たす関数 $f^i(u^i)$ が存在する場合に限ることを示している。
• 曲率線座標系における対角計量のケースでは、相性の良さは方程式系 (7.6) および (7.7) に還元され、計量およびヴェインガルテン作用素の振る舞いを支配する。
• 相性の良い計量の線形結合の曲率テンソルは $R^{ij}_{kl} = \lambda_1 R^{ij}_{1,kl} + \lambda_2 R^{ij}_{2,kl}$ を満たし、一貫した幾何的構造を保証する。
• フェラポントフの局所的非退化ポアソン構造の相性の良い基準における欠陥を是正し、修正版が平坦でない場合を含む両ケースに適用可能であることを保証している。
• 非局所的ポアソン括弧 (7.2) の場合に、計量の相性の良さが括弧の相性の良さを示すことを証明している。特に、ホロノミー曲率線条件のもとで成り立つ。
• 方程式系 (7.3) から (7.5) が、擬ユークリッド空間内の曲面に対するガウス–ペテルソン–コダッチ方程式と同値であることが示され、理論が微分幾何学と結びついている。