[論文レビュー] Complete N-Point Superstring Disk Amplitude II. Amplitude and Hypergeometric Function Structure

Carlos R. Mafra, Oliver Schlotterer+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 37被引用数 26

ひとこと要約

本稿では、純粋スピンルール形式を用いて、完全な $N$-点スーパーフィールドのディスク振幅を、$(N-3)!$ 個のヤン・ミルズ部分振幅の和として表現し、それらに複数のガウス超幾何関数を乗じることで、ストリング補正を符号化した、コンactかつ明示的に超対称性を保つ表現を提示する。主な結果は、超幾何関数とヤン・ミルズ部分振幅の間の同型関係を通じて、全ストリング振幅レベルにおける色と運動量の間に成立する双対性である。

ABSTRACT

Using the pure spinor formalism in part I [1] we compute the complete tree-level amplitude of N massless open strings and find a striking simple and compact form in terms of minimal building blocks: the full N-point amplitude is expressed by a sum over (N-3)! Yang-Mills partial subamplitudes each multiplying a multiple Gaussian hypergeometric function. While the former capture the space-time kinematics of the amplitude the latter encode the string effects. This result disguises a lot of structure linking aspects of gauge amplitudes as color and kinematics with properties of generalized Euler integrals. In this part II the structure of the multiple hypergeometric functions is analyzed in detail: their relations to monodromy equations, their minimal basis structure, and methods to determine their poles and transcendentality properties are proposed. Finally, a Groebner basis analysis provides independent sets of rational functions in the Euler integrals.

研究の動機と目的

• $N=7$ を超える任意の $N$ に対して、全 $N$-点スーパーフィールドのディスク振幅を、コンパクトで明示的に時空超対称性を持つ形で導出すること。
• 振幅に現れる複数のガウス超幾何関数の背後にある構造を解明し、それらをモノドロミー関係および一般化されたオイラー積分に関連付けること。
• ヤン・ミルズ部分振幅と超幾何関数の間の同型関係を示すことにより、全ストリング振幅レベルにおける色と運動量の間の双対性を確立すること。
• グレブナー基底技術を用いて、超幾何関数の極、超越性、および最小基底を体系的に分析すること。

提案手法

• BRST共変な構成ブロックを純粋スピンルール形式で構築し、相関関数を整理し、独立な積分の数を削減する。
• 振幅は、$(N-3)!$ 個のヤン・ミルズ部分振幅の和として表現され、それぞれが $ar{\tau}$-依存性を符号化する一般化されたオイラー積分 $F^\tau(\bar{\tau})$ に掛け合わされる。
• モノドロミー関係を適用して、異なる色順序振幅の間の関係を導出し、それらが超幾何関数の構造に反映されることを示す。
• 部分分数分解と積分ごとの部分積分恒等式を用いて、超幾何関数の間の関係を導出する。
• グレブナー基底解析を実施し、オイラー積分の空間に含まれる独立な有理関数を同定する。
• 超幾何関数の $ar{\tau}$ 展開の各次数において、超越性および極構造を順次分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $N$ に対して、全 $N$-点スーパーフィールドのディスク振幅を、コンパクトで明示的に超対称性を持つ形でどのように表現できるか？
• RQ2 振幅に含まれるストリング補正を符号化する複数のガウス超幾何関数の正確な構造は何か？
• RQ3 ヤン・ミルズ部分振幅と超幾何関数の間に同型関係が存在するか？ これは、ストリングレベルにおける色と運動量の双対性を示唆するか？
• RQ4 モノドロミー関係および部分分数恒等式は、超幾何関数の構造をどのように制約するか？
• RQ5 独立な超幾何関数の最小基底は何か？ それらの極および超越性はどのように体系的に決定できるか？

主な発見

• 全 $N$-点スーパーフィールド振幅は、$(N-3)!$ 項の和として表現され、それぞれがヤン・ミルズ部分振幅と複数のガウス超幾何関数 $F^\tau(\alpha')$ の積である。これにより、コンパクトかつ明示的に超対称性を持つ表現が得られる。
• 超幾何関数の構造はヤン・ミルズ部分振幅の構造と一致しており、全ストリング振幅レベルにおける色と運動量の間の双対性が明らかになる。
• 超幾何関数の間の関係は、ヤン・ミルズ振幅のモノドロミーおよび部分分数関係と一対一に対応している。
• 超幾何関数は最小基底を $(N-3)!$ 個有し、極および超越性の性質はグレブナー基底技術を用いて解析可能である。
• $\alpha'^3$ 次で、1つの超幾何関数が $\zeta(3)\alpha'^3$ から始まり、4つの関数が $\zeta(4)\alpha'^4$ から始まる。これは、高次の補正に伴い超越性が増加することを示している。
• $N \geq 8$ に対しても構造は一貫しており、$\alpha'^4$ 展開では120個以上の基底関数が存在し、参考文献[40]に詳細が記載されている。