[論文レビュー] Complete Ricci-flat K\"ahler metrics on the canonical bundles of toric Fano manifolds

Akito Futaki|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2007

Geometry and complex manifolds被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、トーリックFano多様体の標準線束 $KM$ に完全なリッチ平坦ケーラー計量が存在することを、Sasakian $\eta$-Einstein多様体へのカルビ ansatz の拡張によって確立する。これは、トーリックSasaki-Einstein計量に関する先行研究に基づく。さらに、トーリックケーラー円錐多様体（頂点を除く）に完全なスカラー曲率平坦ケーラー計量が存在することを証明する。これは、定数高さの図形を持つ場合に成立し、特に $KM$ からゼロ切断を除いた部分に対しても成り立つ。

ABSTRACT

Abstract. We prove the existence of a complete Ricci-flat Kähler metric on the total space of the canonical line bundle KM of a toric Fano manifold M as an application of the existence result of toric Sasaki-Einstein metrics by H.Ono, G.Wang and the author. We also prove the existence of a complete scalar-flat Kähler metric on the toric Kähler cone manifold (minus the apex) constructed from a toric diagram with a constant height, and in particular there exists a complete scalar-flat Kähler metric on the total space of KM minus the zero section. These are part of results obtained by extending Calabi ansatz developed by A.Hwang and M.Singer to Sasakian η-Einstein manifolds. 1.

研究の動機と目的

• トーリックFano多様体の標準線束 $KM$ の全空間に完全なリッチ平坦ケーラー計量が存在することを確立すること。
• Sasakian $\eta$-Einstein多様体へのカルビアンサツの拡張により、このような計量の構成を可能とすること。
• トーリックケーラー円錐多様体（頂点を除く）に完全なスカラー曲率平坦ケーラー計量が存在することを証明すること。ただし、トーリック図形が定数高さを持つ場合に限る。
• スカラー曲率平坦の場合に、これらの結果が特に $KM$ からゼロ切断を除いた部分に適用可能であることを示すこと。
• トーリックSasaki-Einstein計量に関する先行の存在結果を、非コンパクト全空間におけるケーラー幾何に統合・一般化すること。

提案手法

• 非コンパクト全空間にケーラー計量を構成するために、Sasakian $\eta$-Einstein多様体へのカルビアンサツの適応。
• Ono, Wang, および著者によるトーリックSasaki-Einstein計量の存在結果を基礎的入力として用いる。
• 定数高さを持つトーリック図形から、スカラー曲率平坦性を保証するトーリックケーラー円錐多様体へのケーラー計量の構成。
• トーリックFano多様体の標準線束 $KM$ に拡張アンサツを適用し、リッチ平坦性を達成すること。
• ゼロ切断を除いた全空間の幾何を分析することで、完全性および所望の曲率性質を維持すること。
• トーリック対称性とケーラー潜在関数構造を活用し、問題を錐上でのMonge-Ampère型方程式の解法に還元すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トーリックFano多様体の標準線束 $KM$ の上に完全なリッチ平坦ケーラー計量を構成することは可能か？
• RQ2 Sasakian $\eta$-Einstein多様体への拡張アンサツは、このような計量の構成をどのように可能にするか？
• RQ3 トーリック図形にどのような条件下で、関連するケーラー円錐（頂点を除く）に完全なスカラー曲率平坦ケーラー計量が存在するか？
• RQ4 スカラー曲率平坦の場合に、このような計量の存在が $KM$ からゼロ切断を除いた部分に拡張されるか？
• RQ5 トーリック図形における定数高さが、スカラー曲率平坦性および完全性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 任意のトーリックFano多様体の標準線束 $KM$ の全空間に完全なリッチ平坦ケーラー計量が存在する。
• この構成は、Sasakian $\eta$-Einstein構造へのカルビアンサツの拡張に依存しており、Sasaki-Einstein計量に関する先行結果を一般化する。
• トーリック図形が定数高さを持つ場合、トーリックケーラー円錐多様体（頂点を除く）に完全なスカラー曲率平坦ケーラー計量が存在する。
• 特に、$KM$ からゼロ切断を除いた全空間に対しても、このような計量が存在する。
• これらの計量の存在は、拡張アンサツをトーリック幾何およびケーラー潜在関数理論に体系的に適用することで確立される。
• 結果として、特定の幾何的制約下でのトーリック設定において、ヤウの定理の非コンパクト版が成立することが示された。