[論文レビュー] Complete Segal Objects

Nima Rasekh|arXiv (Cornell University)|May 9, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、$(∞,1)$-圏における内部高階圏対象としての完全セガール対象を導入し、表現可能なカルテジアン・ファイブレーションを用いて随伴、極限、およびこれらの対象に対する基本定理を構築する。この研究は、[GK17] の結果を一般化し、非可提示な局所カルテジアン閉じた圏に対しても、同値性を一般化する。同値性写像は有界な局所的クラスを分類する。

ABSTRACT

We define complete Segal objects, which play the role of internal higher category objects. Then we study them using representable Cartesian fibrations, in particular defining adjunctions and limits of complete Segal objects. Finally we use Segal objects to define univalence in a locally Cartesian closed category that is not presentable and generalize some previous results to the non-presentable setting.

研究の動機と目的

• 一般の$(∞,1)$-圏における内部$(∞,1)$-圏としての完全セガール対象を定義すること。
• 可提示でない局所カルテジアン閉じた圏においても、同値性の理論を可提示圏を超えて拡張すること。
• 表現可能なカルテジアン・ファイブレーションを用いて、完全セガール対象のための圏論（随伴、極限を含む）を構築すること。
• [GK17] の同値性に関する結果を非可提示な設定に一般化し、特に初等トポスおよび高階圏において応用すること。
• 完全性条件を満たすセガール対象において、$0$-トレントレートでない対象であっても、同値性写像を分類するための枠組みを提供すること。

提案手法

• セガール条件および完全性条件を満たす単体的対象として完全セガール対象を定義し、完全セガール空間の一般化としての役割を果たす。
• 表現可能なカルテジアン・ファイブレーションを用いて、完全セガール対象によって代表されるプレシャーブをモデル化し、この設定におけるヤオダ補題を可能にする。
• 表現可能なカルテジアン・ファイブレーションおよびリーリー・ファイブレーション補完の理論を用いて、完全セガール対象の随伴および極限を構成する。
• 完全セガール対象の『基本定理』を確立し、表現可能性、ファイブレーション、随伴の関係を定式化する。
• 分類対象の完全性を用いて同値性を定義し、可提示でない圏に対しても同値性条件を一般化する。
• この枠組みを初等トポスに適用し、同値性写像が部分対象分類子の部分対象に正確に対応することを示し、非モノの同値性写像を分類する際の制限を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全セガール空間の概念を、$(∞,1)$-圏における圏的対象として内部化し、内部高階圏を定義するにはどうすればよいか？
• RQ2 環境圏が可提示でない場合、同値性写像はどのような設定で定義され、分類されるか？
• RQ3 表現可能なカルテジアン・ファイブレーションは、完全セガール対象のための圏論（例えば随伴、極限）を構築する上で果たす役割は何か？
• RQ4 セガール対象における完全性と同値性の関係は何か？この関係は、可提示でない圏へ一般化可能か？
• RQ5 初等トポスにおける同値性写像の理論は、高階圏的設定において非モノモルフィズムの同値性写像を含むように拡張可能か？

主な発見

• 完全セガール対象は、セガール条件および完全性条件を満たす単体的対象として定義され、内部高階圏における完全セガール空間の一般化として機能する。
• 完全セガール対象の基本定理は、表現可能なカルテジアン・ファイブレーションと完全セガール対象の間の対応関係を確立し、この文脈におけるヤオダ補題の実現を可能にする。
• 表現可能なカルテジアン・ファイブレーションを用いて、完全セガール対象の随伴および極限が構成され、古典的圏論が$(∞,1)$-圏的設定へ拡張される。
• 分類対象の完全性を用いて、可提示でない局所カルテジアン閉じた$(∞,1)$-圏に対しても同値性が一般化される。
• 初等トポスにおいて、同値性写像は部分対象分類子の部分対象に正確に対応し、普遍的写像$u:1\to\Omega$が同値であることが証明される。
• この枠組みは、古典的初等トポスが$0$-トレントレートのため、非モノの同値性写像を分類できないことを明らかにし、すべての同値性写像を分類できる「初等高階トポス」の必要性を示唆する。