[論文レビュー] Completion, closure, and density relative to a monad, with examples in functional analysis and sheaf theory

Rory B. B. Lucyshyn-Wright|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、適切な因子分解系を備えた豊広カテゴリにおいて、モノイドに関しての完成、閉包、密度の統一的枠組みを提示する。両者、ノルム線形空間の完成と、Lawvere-Tierney位相における層化が、唯一の構成—モノイドの冪等核—の特別な場合として現れることを示し、関数解析学およびトポス理論におけるこれらの古典的概念の圏論的基盤を提供する。

ABSTRACT

Given a monad T on a suitable enriched category B equipped with a proper factorization system (E,M), we define notions of T-completion, T-closure, and T-density. We show that not only the familiar notions of completion, closure, and density in normed vector spaces, but also the notions of sheafification, closure, and density with respect to a Lawvere-Tierney topology, are instances of the given abstract notions. The process of T-completion is equally the enriched idempotent monad associated to T (which we call the idempotent core of T), and we show that it exists as soon as every morphism in B factors as a T-dense morphism followed by a T-closed M-embedding. The latter hypothesis is satisfied as soon as B has certain pullbacks as well as wide intersections of M-embeddings. Hence the resulting theorem on the existence of the idempotent core of an enriched monad entails Fakir's existence result in the non-enriched case, as well as adjoint functor factorization results of Applegate-Tierney and Day.

研究の動機と目的

• 関数解析学および層論における完成、閉包、密度の古典的概念を、モノイドを用いた統一的圏論的枠組みへ一般化すること。
• 豊広カテゴリにおけるモノイドの冪等核を定義し、特徴づけること。
• 冪等核構成が、バナッハ空間の完成や、Lawvere-Tierney位相における層化といった既知の構成を回復することを示すこと。
• 因子分解系と豊広カテゴリにおける直交性を用いて、冪等核の存在に十分な条件を確立すること。
• Fakirの結果（通常の圏における冪等核の存在）を、集合添え字付き極限を必要としない状況を含めた豊広設定に拡張すること。

提案手法

• 論文は、$ω$-豊広因子分解系 $(ω, Σ)$ を備えた $ω$-豊広カテゴリ $β$ を用いる。ここで $Σ$-射は埋め込みと呼ばれる。
• モノイド $Τ$ に関する直交性を用いて、$Τ$-密度射および $Τ$-閉包埋め込みを定義し、位相的・代数的設定における密度と閉包を一般化する。
• 対象 $B$ の $Τ$-完成は、単位写像 $\eta_B: B \to TB$ の $(ω, Σ)$-像の $Τ$-閉包として定義される。
• モノイド $\mathbb{T}$ の冪等核 $\widetilde{\mathbb{T}}$ は、$Τ$-完成のモノイドとして構成され、$β$ の反射的部分カテゴリをなす。
• $\widetilde{\mathbb{T}}$ の存在は、任意の射が $Τ$-密度射の後に $Τ$-閉包埋め込みが続くという仮定のもとで確立される。これは $\u03b2$ が $Σ$-埋め込みの広い交わりと適切な引き戻しを備えている場合に成立する。
• この枠組みは、双対双対化を用いたノルム線形空間や、Lawvere-Tierney位相を備えたトポスに適用され、層化と $j$-閉包が一般構成の特別な場合として回復される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数解析学における完成、閉包、密度と、層論におけるそれらの類似概念を、圏論的モノイド構成によってどのように統一できるか？
• RQ2 豊広カテゴリにおける与えられたモノイドに対して、冪等核モノイドの存在を保証する条件は何か？
• RQ3 トポス上の双対双対化モノイドが、Lawvere-Tierney位相 $j$ に対する $j$-層化プロセスをどのように回復するのか？
• RQ4 豊広設定における冪等核構成は、Fakirの古典的結果（通常の圏における冪等核の存在）をどのように一般化するか？
• RQ5 集合添え字付き極限を必要としない状況において、$j$-層化モノイドの構成を初等的トポスへ拡張することは可能か？

主な発見

• $Τ$-完成モノイド $\widetilde{\mathbb{T}}$ は $\mathbb{T}$ の冪等核であり、$\mathbb{T}$ が逆転する射と同一の射を逆転するため、$\mathbb{T}$ の普遍的な冪等近似である。
• $β$ における $Τ$-完全対象の全部分カテゴリは反射的であり、$\widetilde{\mathbb{T}}$ はそれに関連する冪等 $ω$-豊広モノイドである。
• 双対双対化モノイドを備えたノルム線形空間の圏において、$\widetilde{\mathbb{T}}$ は通常のバナッハ空間への完成を回復する。
• Lawvere-Tierney位相 $j$ を備えたトポス $\u03a3$ において、$\Omega_j$ の双対双対化に関連する $Τ$-完成モノイドは、$j$-層化モノイドと一致する。
• 双対双対化構成のもとで、対象が $Τ$-完全であることと $j$-層であること、$Τ$-分離であることと $j$-分離であることとは同値である。
• 豊広カテゴリ $\u03b2$ が $Σ$-埋め込みの広い交わりと引き戻しを備えている限り、豊広モノイドの冪等核 $\widetilde{\mathbb{T}}$ の存在が保証され、Fakirの結果が豊広設定に一般化される。