[論文レビュー] Completion process and quasi-convex subgroups

Olga Kharlampovich, Alexei Myasnikov+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 35被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、双曲的または右角アーベル自由群を含む自動群、例えば、有限生成 quasi-凸部分群の図形的表現を計算する効果的な手法を提示する。この表現により、部分群の交わり、有限性、共役性、有限指数、ほぼマロンダル性といった重要なアルゴリズム的問題が解けるが、群の自動構造と部分群の生成元が与えられたとしても、その計算に計算可能な時間上限は存在しない。

ABSTRACT

We show how to effectively compute a graphical representation for a finitely generated quasi-convex subgroup H of an automatic group G (e.g. a hyperbolic group, a right-angled Artin group etc.). Such repre-sentations, which are well-known for subgroups of free groups but also in a number of other situations (e.g. subgroups of amalgamated products of finite groups [Markus-Epstein, 2007] or of virtually free groups [Silva, Soler-Escriva, Ventura, 2011]), can be used to solve algorithmic problems such as computing the intersection of finitely generated subgroups or de-ciding finiteness, and under appropriate hypotheses, to decide whether two subgroups are conjugated, or whether a subgroup has finite index or it is almost malnormal. We also discuss the complexity of computation of this graphical repre-sentation: there is no computable bound on the time required to compute it, given the automatic structure of G and a set of words generating H;

研究の動機と目的

• 自動群内の有限生成 quasi-凸部分群の図形的表現を計算するための効果的アルゴリズムを開発すること。
• 自由群や他の特殊ケースにおける既知の手法を、双曲的群や右角アーベル自由群を含むより広い群のクラスへと拡張すること。
• 計算された図形的表現を用いて、基本的な部分群問題に対するアルゴリズム的解決を可能にすること。
• 表現の計算の計算量の複雑さを分析すること、特に計算可能な時間上限が存在しないことの分析。

提案手法

• 環境群 G の自動構造を活用して、部分群 H を表す有限状態オートマトンを構築する。
• H の quasi-凸性を用いて、図形的表現が有限的かつ効果的に計算可能であることを保証する。
• 自由群やバニラ自由群における部分群アルゴリズムの既知の技術を、自動群のより広いクラスへ応用する。
• 語的双曲的および自動群理論を用いて、構築過程での幾何的およびアルゴリズム的制御を維持する。
• G 内で H の代表元を表す正則言語の存在に依存する。この言語は自動構造から導かれる。
• 既存の部分群の交わりや共役性のためのアルゴリズムを、図形的表現の枠組みに統合する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自動群における quasi-凸部分群に対して、図形的表現を効果的に計算できるか？
• RQ2 このような表現は、部分群の交わりや有限性といったアルゴリズム的問題をどのように解けるか？
• RQ3 自動構造と部分群の生成元から図形的表現を計算する際に、計算可能な時間上限は存在するか？
• RQ4 どのような条件下で、この表現を用いて部分群の共役性や有限指数を決定できるか？
• RQ5 この手法は自由群を越えて、双曲的群や右角アーベル自由群を含むクラスへ一般化可能か？

主な発見

• 自動群内の有限生成 quasi-凸部分群の図形的表現は、群の自動構造を用いることで効果的に計算可能である。
• 図形的表現により、部分群の交わりの計算や有限性の決定といったアルゴリズム的問題が解ける。
• 適切な仮定の下では、共役性や有限指数の問題が表現を用いて決定可能である。
• 必要な条件が満たされた場合、部分群のほぼマロンダル性は表現を用いて決定できる。
• 自動構造と生成語が与えられたとしても、図形的表現を計算するのに要する時間に計算可能な上限は存在しない。