[論文レビュー] Completions of $\C^*$-surfaces

Hubert Flenner, Shulim Kaliman+1 more|ArXiv.org|Nov 10, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、滑らかなアフィン曲線上のℚ-因子の対 (D₊, D₋) を用いた DPD 表現を用いて、双曲的 ℂ*-表面の正規的かつ等変性のある完備化を構成する。同定された完備化は、基本的変形を用いて自然に構成され、特定の状況では一意的であり、Zigzag境界が完全に特徴づけられる。これは、滑らかまたは正則な ℂ*-表面の境界として現れる zigzag の完全分類を提供する。

ABSTRACT

Following an approach of Dolgachev, Pinkham and Demazure, we classified in math.AG/0210153 normal affine surfaces with hyperbolic $\C^{*}$-actions in terms of pairs of $\Q$-divisors $(D_+,D_-)$ on a smooth affine curve. In the present paper we show how to obtain from this description a natural equivariant completion of these $\C^*$-surfaces. Using elementary transformations we deduce also natural completions for which the boundary divisor is a standard graph in the sense of math.AG/0511063 and show in certain cases their uniqueness. This description is especially precise in the case of normal affine surfaces completable by a zigzag i.e., by a linear chain of smooth rational curves. As an application we classify all zigzags that appear as boundaries of smooth or normal $\C^*$-surfaces.

研究の動機と目的

• 双曲的 ℂ*-表面に対して、DPD 表現を用いて明示的かつ自然な等変性完備化を構成すること。
• 標準的境界グラフを持つ完備化が存在し、特定の条件下で一意的であることを示すこと。
• 滑らかまたは正則な ℂ*-表面の境界として現れる、すべての線形鎖（有理曲線の鎖）である zigzag を分類すること。
• 各 k に対して、Danilov-Gizatullin 表面に正確に k 個の非共轭な ℂ*-作用が存在することの新証明を提供すること。
• 正則アフィン G-表面に対する一般の代数的群作用への等変性完備化理論を、トーラスでない G に対しても拡張すること。

提案手法

• 滑らかなアフィン曲線 C = Spec A₀ 上の ℚ-因子の対 (D₊, D₋) を用いた ℂ*-表面の DPD 表現を用いる。ここで D₊ + D₋ ≤ 0 である。
• 特異点の解消とコンパクト化を図るため、吹き上げと基本的変形を用いて表面を拡張することで、正規的等変性完備化を構成する。
• 境界除数が標準的双対グラフ構造を持つことを保証するために、[FKZ] における標準的グラフの理論を適用する。
• 境界除数の標準的グラフ構造を達成するために、基本的変形を用いて完備化を変形する。
• Kambayashi-Mumford-Sumihiro 定理と Zariski の解消定理を用いて、等変性 SNC 完備化の存在を保証する。
• 等変性吹き上げと縮約に関する補題を用いて、解消および正規化の過程で群作用を保存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双曲的 ℂ*-表面の DPD 表現を用いて、正規的等変性完備化をどのように構成できるか。
• RQ2 標準的境界グラフを持つ等変性完備化が、どのような条件下で一意的になるか。
• RQ3 滑らかまたは正則な ℂ*-表面の境界として現れる有理曲線の線形鎖（Zigzag）は、どのようなものか。
• RQ4 与えられた Danilov-Gizatullin 表面には、いくつの非共轭な ℂ*-作用が存在するか。
• RQ5 G がトーラスでない場合、正則アフィン G-表面に対して、等変性標準完備化を体系的に構成できるか。

主な発見

• 双曲的 ℂ*-表面の正規的等変性完備化は、ℚ-因子の対 (D₊, D₋) から明示的に構成され、境界除数の双対グラフは補題 LABEL:boundarydivisor で記述される。
• Zigzag によって完備可能な表面に対して、境界除数として現れるすべての可能な zigzag を完全に分類している。
• 標準的双対グラフを持つ完備化は、特定の状況で一意的であり、定理 LABEL:unimain で確立されている。
• 本稿は、各 k ≥ 1 に対して、Danilov-Gizatullin 表面 V_{k+1} に正確に k 個の互いに非共轭な ℂ*-作用が存在することを確認し、DPD 表現を用いた代替的証明を提供している。
• 正則アフィン G-表面に対して、等変性標準完備化は、3 つの例外を除いてすべて存在する。例外は ℙ²∖Q、ℙ¹×ℙ¹∖Δ、および Veronese 表面 V_{d,1} であり、定理 LABEL:equivariant.5 で示されている。
• 任意の正則アフィン表面に連結な代数的群作用が作用する場合、等変性 SNC 完備化は存在し、任意の二つのこのような完備化は、第三の完備化によって等変的に支配される。