[論文レビュー] Complex Chern-Simons from M5-branes on the Squashed Three-Sphere

Clay Córdova, Daniel L. Jafferis|arXiv (Cornell University)|May 13, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 53被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、M5-braneに compactified された (2,0) 超共形場理論と、$\sigma_{\mathbb{C}}$ が規範群である複素 Chern-Simons 理論との間に双対性を確立する。compactification は4つのスーパーチャージを保存し、低エネルギー有効理論はレベルパrameter $q = k + iu$ を持つ複素 Chern-Simons 理論として現れる。ここで $k$ は量子化され、$u$ は圧縮パラメータ $l$ に依存する。フェルミオンは出現する非コンパクト規範対称性の固定のための Faddeev-Popov ゲーストに再解釈され、複素 Chern-Simons 積分路の非摂動的定義が与えられる。

ABSTRACT

We derive an equivalence between the (2,0) superconformal M5-brane field theory dimensionally reduced on a squashed three-sphere, and Chern-Simons theory with complex gauge group. In the reduction, the massless fermions obtain an action which is second order in derivatives and are reinterpreted as ghosts for gauge fixing the emergent non-compact gauge symmetry. A squashing parameter in the geometry controls the imaginary part of the complex Chern-Simons level.

研究の動機と目的

• 圧縮された三重球面上の (2,0) M5-brane 理論と複素 Chern-Simons 理論との間に双対性を導出すること。
• compactified された低エネルギー極限における非コンパクト規範対称性の出現を理解すること。
• 幾何的 compactification を通じて、複素 Chern-Simons 積分路の非摂動的定義を提供すること。
• 圧縮パラメータが Chern-Simons レベルの虚部を制御する役割を明確にすること。
• compactification における質量ゼロのフェルミオンが、出現する対称性の固定のための Faddeev-Popov ゲーストにどのようになるかを特定すること。

提案手法

• 4つのスーパーチャージを保存するように、圧縮された三重球面 $S^3_\ell$ 上で (2,0) M5-brane 理論を次元削減する。
• 5次元のスーパーグラビティ背景のゼロモードを解析し、Kaluza-Klein 削減から得られる有効3次元作用を特定する。
• 有効3次元作用が $\mathcal{A} = A + iX$ を持つ複素 Chern-Simons 理論として特定され、ここで $A$ と $X$ は $\mathfrak{g}_{\mathbb{C}}$ 接続に変換する。
• フェルミオンのゼロモードが2階微分作用を生じ、非コンパクト部分の規範対称性の固定のための Faddeev-Popov ゲーストとして再解釈されることを示す。
• レベルパラメータを $k = 1$, $u = \sqrt{1 - \ell^2}$ として導出し、幾何学的構造と複素レベルを結びつける。
• 積分路の contour 変形を用いて、M5-brane の分配関数と複素 Chern-Simons 積分路を関係づけ、非摂動的定義を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 圧縮された三重球面上での (2,0) 理論の compactification が、3次元の複素 Chern-Simons 理論をどのように導くか。
• RQ2 この構成における複素 Chern-Simons レベル $q = k + iu$ の起源は何か。
• RQ3 compactification におけるフェルミオンのゼロモードが、ゲージ構造にどのように寄与し、Faddeev-Popov ゲーストに再解釈されるか。
• RQ4 なぜ Yang-Mills レギュレータは複素 Chern-Simons 理論では効果を持たず、この構成が非摂動的完成をどのように提供するか。
• RQ5 圧縮パラメータ $\ell$ が理論のユニタリブランチをどのように制御するか、その物理的解釈は何か。

主な発見

• 圧縮された三重球面上での compactification 後の低エネルギー有効理論は、$\mathfrak{g}_{\mathbb{C}}$ を規範群とする複素 Chern-Simons 理論である。
• 作用は $S = \frac{q}{8\pi}\int \mathrm{Tr}(\mathcal{A} \wedge d\mathcal{A} + \frac{2}{3}\mathcal{A}^3) + \frac{\tilde{q}}{8\pi}\int \mathrm{Tr}(\bar{\mathcal{A}} \wedge d\bar{\mathcal{A}} + \frac{2}{3}\bar{\mathcal{A}}^3)$ の形を取り、$q = k + iu$, $\tilde{q} = k - iu$, かつ $k=1$, $u = \sqrt{1 - \ell^2}$ である。
• compactification におけるフェルミオンは2階微分作用を生じ、出現する非コンパクト規範対称性の固定のための Faddeev-Popov ゲーストとして再解釈される。
• 圧縮パラメータ $\ell$ はレベルの虚部を制御する：$\ell < 1$ のとき $u$ は実数（ユニタリブランチ）、$\ell > 1$ のとき $u$ は純虚数（他のユニタリブランチ）。
• この構成により、M5-brane の分配関数の解析接続を通じて、複素 Chern-Simons 積分路の非摂動的定義が与えられる。
• 理論は複素ゲージ変換 $\mathcal{A} \to \mathcal{A} + d_{\mathcal{A}}g$ に対して不変であり、$A$ は $\mathfrak{g}$ に、$X$ は非コンパクト対称性に変換する。$k$ は大規模ゲージ不変性により整数でなければならない。