[論文レビュー] Chern-Simons Theory and S-duality

Tudor Dimofte, Sergei Gukov|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 58被引用数 22

ひとこと要約

本論文は、6次元(2,0)理論を五braneで compactification することにより、3次元多様体上の解析接続されたSL(2,C) Chern-Simons理論と4次元$\sigma$-理論および$\sigma$-双対性対称性との間に双対性フレームワークを確立する。Chern-Simons理論における隠れた$\hbar \to -4\pi^2/\hbar$対称性は、4次元$\mathcal{N}=4$超ヤン・ミルズ理論における$S$-双対性として特定され、マッピングクラス群の作用は、$\mathcal{N}=2$理論における$S$-双対性に写像され、結び目補空間およびマッピングシリンダ上に明示的な実現が与えられる。

ABSTRACT

We study S-dualities in analytically continued SL(2) Chern-Simons theory on a 3-manifold M. By realizing Chern-Simons theory via a compactification of a 6d five-brane theory on M, various objects and symmetries in Chern-Simons theory become related to objects and operations in dual 2d, 3d, and 4d theories. For example, the space of flat SL(2,C) connections on M is identified with the space of supersymmetric vacua in a dual 3d gauge theory. The hidden symmetry "hbar -> - (4 pi^2)/hbar" of SL(2) Chern-Simons theory can be identified as the S-duality transformation of N=4 super-Yang-Mills theory (obtained by compactifying the five-brane theory on a torus); whereas the mapping class group action in Chern-Simons theory on a three-manifold M with boundary C is realized as S-duality in 4d N=2 super-Yang-Mills theory associated with the Riemann surface C. We illustrate these symmetries by considering simple examples of 3-manifolds that include knot complements and punctured torus bundles, on the one hand, and mapping cylinders associated with mapping class group transformations, on the other. A generalization of mapping class group actions further allows us to study the transformations between several distinguished coordinate systems on the phase space of Chern-Simons theory, the SL(2) Hitchin moduli space.

研究の動機と目的

• 解析接続されたSL(2,$\mathbb{C}$) Chern-Simons理論における隠れた$\hbar \to -4\pi^2/\hbar$対称性の物理的実現を確立すること。
• 6次元五brane理論をトーラス上でcompactificationすることにより、4次元$\mathcal{N}=4$超ヤン・ミルズ理論における$S$-双対性としてこの対称性を同定すること。
• 境界$C$を持つ3次元多様体上のマッピングクラス群作用を、リーマン面$C$に関連する4次元$\mathcal{N}=2$ゲージ理論における$S$-双対性に結びつけること。
• 結び目補空間、穿孔付きトーラスバンドル、およびマッピングシリンダ上に、これらの双対性の明示的な幾何学的・代数的実現を提供すること。

提案手法

• $M = C \times \mathbb{R}$上で6次元$(2,0)$五brane理論をcompactificationし、$M$上での解析接続されたChern-Simons理論を導出する。
• $S^3$における$\Omega$-変形を用いて、5次元compactificationを4次元$\mathcal{N}=2$および$\mathcal{N}=4$超ヤン・ミルズ理論に結びつける。
• Chern-Simons理論のヒルベルト空間を、双対な3次元$\mathcal{N}=2$理論におけるスピン系の真空空間に同定する。
• 3次元多様体$C$上のマッピングクラス群作用を、$\mathcal{N}=2$ S-双対性対応を通じて4次元$\mathcal{N}=2$理論における$S$-双対性として実現する。
• 状態積分モデルと量子ダイログラミス関数を用いて、モジュラー性を分析し、$\hbar \to -4\pi^2/\hbar$変換を導出する。
• $\mathcal{N}=4$双対性に従う変数変換を実装する核$Z_\xi(\Lambda, T_\flat)$および$Z_{\xi^{-1}}(T, \Lambda_\flat)$を構成し、演算子代数の変換を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解析接続されたSL(2,$\mathbb{C}$) Chern-Simons理論における隠れた$\hbar \to -4\pi^2/\hbar$対称性は、6次元五brane理論の物理的compactificationからどのように生じるか？
• RQ2 境界$C$を持つ3次元多様体上のマッピングクラス群作用は、4次元$\mathcal{N}=2$ゲージ理論における$S$-双対性としてどのように物理的に解釈できるか？
• RQ3 解析接続されたChern-Simons理論の波動関数およびヒルベルト空間は、双対な3次元$\mathcal{N}=2$理論におけるスピン系の真空とどのように関係するか？
• RQ4 $\mathcal{N}=4$ S-双対性変換は、Chern-Simonsヒルベルト空間の演算子代数において代数的に実現可能か？
• RQ5 量子ダイログラミス関数および状態積分モデルは、Chern-Simons理論におけるモジュラー性および双対性対称性を実現するために果たす役割は何か？

主な発見

• Chern-Simons理論における$\hbar \to -4\pi^2/\hbar$対称性は、トーラス上で6次元五brane理論をcompactificationすることにより得られる4次元$\mathcal{N}=4$超ヤン・ミルズ理論における$S$-双対性として物理的に実現される。
• 境界$C$を持つ3次元多様体$M = C \times \mathbb{R}$上のマッピングクラス群作用は、リーマン面$C$に関連する4次元$\mathcal{N}=2$ゲージ理論における$S$-双対性に対応し、$\mathcal{N}=2$ S-双対性対応を通じて結びつけられる。
• $M$上での$SL(2,\mathbb{C})$の平坦接続の空間は、双対な3次元$\mathcal{N}=2$ゲージ理論におけるスピン系の真空空間に同定される。
• 変数変換を実装し、$\mathcal{N}=4$双対演算子代数を満たす明示的な核$Z_\xi(\Lambda, T_\flat)$および$Z_{\xi^{-1}}(T, \Lambda_\flat)$が構成され、波動関数のレベルでの双対性が確認される。
• $\mathcal{N}=4$双対性における演算子代数の変換は、簡単な形で表される：$\sqrt{\hat{t}_{\flat}} - \frac{i}{\hat{\lambda} - \hat{\lambda}^{-1}}(\hat{\tau}^{1/2} - \hat{\tau}^{-1/2}) \simeq 0$およびその双対版をとる。これは双対性の強力な証拠を提供する。