[論文レビュー] Complex Chern-Simons theory at level k via the 3d-3d correspondence

Tudor Dimofte|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 59被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、3次元-3次元対応を用いて、$SL(n,\mathbb{C})$ チャーン・サイモンズ理論の任意のレベル $k$ における非摂動的状態積分モデルを構築する。これは、3次元 $χ=2$ SCFT $T_n[M]$ の分割関数を、引きつがれたレンズ空間 $L(k,1)_b$ 上で計算することによって達成される。このモデルは、$k=1$ 時の状態積分と $k=0$ 時の3次元インデックスを一般化し、三角形分割に依存する正則ブロックを通じて、ホロモルフィック・アンチホロモルフィック因子分解を示す。収束には正の角度構造が要求される。

ABSTRACT

We use the 3d-3d correspondence together with the DGG construction of theories $T_n[M]$ labelled by 3-manifolds M to define a non-perturbative state-integral model for SL(n,C) Chern-Simons theory at any level k, based on ideal triangulations. The resulting partition functions generalize a widely studied k=1 state-integral as well as the 3d index, which is k=0. The Chern-Simons partition functions correspond to partition functions of $T_n[M]$ on squashed lens spaces L(k,1). At any k, they admit a holomorphic-antiholomorphic factorization, corresponding to the decomposition of L(k,1) into two solid tori, and the associated holomorphic block decomposition of the partition functions of T_n[M]. A generalization to L(k,p) is also presented. Convergence of the state integrals, for any k, requires triangulations to admit a positive angle structure; we propose that this is also necessary for the DGG gauge theory T_n[M] to flow to a desired IR SCFT.

研究の動機と目的

• 一般レベル $k$ における $SL(n,\mathbb{C})$ チャーン・サイモンズ理論の非摂動的状態積分モデルを定義すること。
• $T_n[M]$ 理論の $L(k,1)_b$ への compactification における 3次元-3次元対応を拡張すること。
• $k=1$ および $k=0$ の場合（状態積分および3次元インデックス）を任意の $k$ に一般化すること。
• 三角形分割を用いたホロモルフィック・アンチホロモルフィック因子分解を確立すること。
• 状態積分の収束および DGG ゲージ理論 $T_n[M]$ が良い定義された IR SCFT に至るための条件を同定すること — 特に正の角度構造。

提案手法

• 3次元-3次元対応を用いて、$A_{n-1}$ リー代数に基づき、3次元多様体 $M$ に3次元 $χ=2$ SCFT $T_n[M]$ を関連付ける。
• 超対称局在化と正則ブロック分解を用いて、$T_n[M]$ の分割関数を引きつがれたレンズ空間 $L(k,1)_b$ 上で計算する。
• 理想三角形分割に基づく状態積分モデルを構築し、四面体の寄与を $q$-超幾何関数で定義する。
• 状態積分の収束を保証するために、三角形分割に正の角度構造を課す。
• $L(k,1)_b$ を2つのドーナツ型（固体トーラス）に分解することで、$T_n[M]$ の分割関数のブロック分解と一致させ、ホロモルフィック・アンチホロモルフィック因子分解を導出する。
• モノドロミーおよび極構造を扱うために、デデキンド和と $q$-級数恒等式を用いて、$L(k,p)_b$ に対してもモデルを一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般レベル $k$ における $SL(n,\mathbb{C})$ チャーン・サイモンズ理論を、3次元-3次元対応を用いて非摂動的にどのように定義できるか？
• RQ2 $T_n[M]$ の $L(k,1)_b$ 分割関数と一般レベル $k$ における $SL(n,\mathbb{C})$ チャーン・サイモンズ理論との正確な関係は何か？
• RQ3 分割関数のホロモルフィック・アンチホロモルフィック因子分解は、$L(k,1)_b$ の幾何からどのように生じるか？
• RQ4 任意の $k$ に対して、状態積分モデルの収束を保証する三角形分割の条件は何か？
• RQ5 $k=1$ 時の状態積分と $k=0$ 時の3次元インデックスを、すべての $k$ に対して有効な一様な枠組みに統合できるか？

主な発見

• $T_n[M]$ の $L(k,1)_b$ 上の分割関数は、結合定数 $\sigma = k(1-b^2)/(1+b^2)$ を持つ $SL(n,\mathbb{C})$ チャーン・サイモンズ理論に対応し、$k=1$ 時の一般化である。
• 状態積分モデルは非摂動的であり、$k=1$ 時の状態積分と $k=0$ 時の3次元インデックスの両方を一般化する。
• 分割関数は、$L(k,1)_b$ が2つの固体トーラスにヘーゲアード分解されることに対応するホロモルフィック・アンチホロモルフィック因子分解を有する。
• 三角形分割が正の角度構造を有する場合、状態積分の収束が保証される。この条件は、DGG 理論 $T_n[M]$ が良い定義された IR SCFT に至るための必要条件であると予想される。
• $L(k,p)_b$ に対しては、デデキンド和と $q$-級数恒等式を用いてモデルを一般化し、最終的な式は $q$-ポッホハマー記号の積と $S(-p,k)$ および $\kappa(k,r)$ に依存する位相因子を含む。
• $p=r=1$ のとき、モデルは簡略化され、$S(-1,k) = -(k-1)(k-2)/(12k)$ および $\kappa(k,1) = 1-k^2$ を用いた明示的表現が得られ、期待される $\mathcal{Z}^{(k,p)}[\text{bip}_3]$ と一致するコンactな形をとる。